(1)
\begin{equation}
|s \pmb{I} - \pmb{A}| =
\begin{vmatrix} s+1 & -2 \\ 0 & s -1 \end{vmatrix}
=(s+1)(s-1) = 0
\end{equation}
から、固有値はとなり、安定な固有値
と不安定な固有値
が一つずつある。不安定な固有値を有するので、制御対象は不安定である。
(2)可制御性行列は
\begin{equation}
\pmb{U}_\mathrm{C} = (\pmb{b} \,\, \pmb{Ab})
= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
と計算されるから、となる。よって、制御対象は不可制御である。
(3)
\begin{equation} \pmb{A}- \pmb{bf} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ( f_1 \,\, f_2) = \begin{pmatrix} -1-f_1 & 2 - f_2 \\ - f_1 & 1 - f_2 \end{pmatrix} \end{equation}
(4)
\begin{equation} |s \pmb{I} - A + \pmb{bf} | = \begin{vmatrix} s+1+f_1 & -2+f_2 \\ f_1 & s-1+f_2 \end{vmatrix} = s^2+(f_1+f_2)s+(-1+f_1+f_2) \end{equation}
次の連立方程式を得る。
(5)この二本の方程式は、傾きが等しので軸切片が異なると解を持たない。解を持つには、が条件となる。
(6)を
に代入すると、
となる。このことから、を適切に選ぶことで安定な固有値-1はそのままで、不安定な固有値だけを実数の
に移すことができることがわかる。すなわち制御対象を安定化できる。
(7)であるから、方程式は
[f_1+f_2=3]
となる。を求める方程式は1本だけなので、解は無数に存在する。例えば、
とすれば制御対象を安定化できる。
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