(1)図1のブロック線図から
逆ラプラス変換して、
\begin{equation}
y(t) = x_1 (t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} = \pmb{c} \pmb{x}(t)
\end{equation}
行列は
\begin{equation}
\pmb{c} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}
\end{equation}
次にブロック線図のには
同様に
それぞれ逆ラプラス変換して
\begin{equation} \begin{bmatrix} \dot{x_1}(t) \\ \dot{x_2}(t) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} - 3 x_1 (t) + x_2 (t) \\ -2 x_1(t) + u (t) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u(t) = \pmb{A} \pmb{x}(t) + \pmb{b} u(t) \end{equation}
(2)
これをとすると、
\begin{equation} \bar{\dot{\pmb{x}}} = \begin{bmatrix} \dot{\pmb{x}}(t) \\ \dot{z}(t)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ( \pmb{A} - \pmb{bf})\pmb{x}(t) + k \pmb{b} z(t) \\ -\pmb{cx}(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} r(t) = \begin{bmatrix} ( \pmb{A} - \pmb{bf}) & k \pmb{b} \\ -\pmb{c} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \pmb{x}(t) \\ z(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} r(t) \end{equation}
よって
\begin{equation} \bar{\pmb{A}} = \begin{bmatrix} ( \pmb{A} - \pmb{bf}) & k \pmb{b} \\ -\pmb{c} & 0 \end{bmatrix} \end{equation}
\begin{equation} \bar{\pmb{b}} = \begin{bmatrix} \pmb{0} \\ 1 \end{bmatrix} \end{equation}
\begin{equation} y(t) = \bar{c}\bar{\pmb{x}}(t) = \begin{bmatrix} \pmb{c} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \pmb{x}(t) \\ z(t) \end{bmatrix} \end{equation}
\begin{equation} \bar{\pmb{c}} = \begin{bmatrix} \pmb{c} & 0 \end{bmatrix} \end{equation}
(3)
\begin{equation} \pmb{A} - \pmb{bf} = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ -1 & -3 \end{bmatrix} \end{equation}
より
\begin{equation} \bar{A} = \begin{bmatrix} -3 & 1 & 0 \\ -1 & -3 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{equation}
の固有値をとすると、
\begin{equation} \det ( \lambda \pmb{I} - \bar{A} ) = \begin{vmatrix} \lambda +3 & -1 & 0 \\ 1 & \lambda+3 & -1 \\ 1 & 0 & \lambda \end{vmatrix} = 0 \end{equation}
(4)
式に式と式を代入すると、
式に式を代入すると伝達関数
|