2018年電験1種　機械制御問4 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

(1)図1のブロック線図から

$Y(s) = X_1 (s)$

\begin{equation}
y(t) = x_1 (t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} = \pmb{c} \pmb{x}(t)
\end{equation}

行列 $c$ は

\begin{equation}
\pmb{c} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}
\end{equation}

次にブロック線図の $X_1(s),X_2(s)$ には

$\displaystyle{ X_1(s) = \frac{X_2(s)}{s+3} }$

$s X_1(s) = - 3 X_1(s) + X_2(s)$

同様に

$\displaystyle{ X_2 (s) = \frac{U(s)}{s+2} }$

$s X_2(s) = -2 X_2 (s) + U (s)$

それぞれ逆ラプラス変換して

$\dot{x_1}(t) = -3 x_1 (t) + x_2(t)$

$\dot{x_2}(t) = -2 x_2 (t) + u(t)$

\begin{equation} \begin{bmatrix} \dot{x_1}(t) \\ \dot{x_2}(t) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} - 3 x_1 (t) + x_2 (t) \\ -2 x_1(t) + u (t) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u(t) = \pmb{A} \pmb{x}(t) + \pmb{b} u(t) \end{equation}

(2) $\dot{\pmb{x}}(t) = \pmb{A} \pmb{x}(t) + \pmb{b} u (t) = \pmb{A} \pmb{x}(t) +\pmb{b}( - \pmb{f} \pmb{x} (t) + k z (t)) = ( \pmb{A} - \pmb{bf})\pmb{x}(t) + k \pmb{b} z(t)$

$\dot{z}(t) = r(t) - \pmb{cx}(t)$

これを $\bar{\dot{\pmb{x}}}$ とすると、

\begin{equation} \bar{\dot{\pmb{x}}} = \begin{bmatrix} \dot{\pmb{x}}(t) \\ \dot{z}(t)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ( \pmb{A} - \pmb{bf})\pmb{x}(t) + k \pmb{b} z(t) \\ -\pmb{cx}(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} r(t) = \begin{bmatrix} ( \pmb{A} - \pmb{bf}) & k \pmb{b} \\ -\pmb{c} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \pmb{x}(t) \\ z(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} r(t) \end{equation}

よって

\begin{equation} \bar{\pmb{A}} = \begin{bmatrix} ( \pmb{A} - \pmb{bf}) & k \pmb{b} \\ -\pmb{c} & 0 \end{bmatrix} \end{equation}

\begin{equation} \bar{\pmb{b}} = \begin{bmatrix} \pmb{0} \\ 1 \end{bmatrix} \end{equation}

\begin{equation} y(t) = \bar{c}\bar{\pmb{x}}(t) = \begin{bmatrix} \pmb{c} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \pmb{x}(t) \\ z(t) \end{bmatrix} \end{equation}

\begin{equation} \bar{\pmb{c}} = \begin{bmatrix} \pmb{c} & 0 \end{bmatrix} \end{equation}

(3)

\begin{equation} \pmb{A} - \pmb{bf} = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ -1 & -3 \end{bmatrix} \end{equation}

$k = 1$ より

\begin{equation} \bar{A} = \begin{bmatrix} -3 & 1 & 0 \\ -1 & -3 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{equation}

$\bar{A}$ の固有値を $\lambda$ とすると、

\begin{equation} \det ( \lambda \pmb{I} - \bar{A} ) = \begin{vmatrix} \lambda +3 & -1 & 0 \\ 1 & \lambda+3 & -1 \\ 1 & 0 & \lambda \end{vmatrix} = 0 \end{equation}

$\lambda(\lambda +3)^2 + \lambda + 1=0$

$\lambda^3 + 6 \lambda^2 + 10 \lambda + 1 = 0$

(4)

$\bigcirc\!\!\!\! {\scriptsize 1}\quad E(s)= R(s) - Y(s)$

$\bigcirc\!\!\!\! {\scriptsize 2} \quad \displaystyle{Y(s)=X_1(s) = \frac{X_2(s)}{s+3}}$

$\bigcirc\!\!\!\! {\scriptsize 3}\quad \displaystyle{ U(s) = \frac{E(s)}{s} - Y(s) - X_2(s) }$

$\bigcirc\!\!\!\! {\scriptsize 4}\quad \displaystyle{ X_2(s) = \frac{U(s)}{s+2} }$

$\bigcirc\!\!\!\! {\scriptsize 3}\quad$ 式に $\bigcirc\!\!\!\! {\scriptsize 1}\quad$ 式と $\bigcirc\!\!\!\! {\scriptsize 4}\quad$ 式を代入すると、

$\displaystyle{ ( s+2) X_2 (s) = \frac{1}{s}\{ R(s) - Y(s) \} - Y(s) - X_2(s) }$

$\bigcirc\!\!\!\! {\scriptsize 5}\quad s(s+3) X_2(s) = R(s) - (s+1)Y(s)$

$\bigcirc\!\!\!\! {\scriptsize 5}\quad$ 式に $\bigcirc\!\!\!\! {\scriptsize 2}\quad$ 式を代入すると伝達関数

$\displaystyle{ G(s) = \frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{s(s+3)^2 +(s+1)}=\frac{1}{s^3 + 6 s^2 + 10s +1}}$

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