待ち行列４．ポアソン到着 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

ポアソン分布に従う到着の定義

条件1．（到着の定常性）相重ならないようにとられた’任意の $n$ 個の時間区間 $I_1,I_2,\cdots,I_n$ に対して、各区間に $k_1$ 人、 $k_2$ 人、 $\cdots$ 、 $k_n$ 人到着する結合確率が時間区間 $I_i$ をすべて同一時間ずらしても、その位置に関係なくその区間の長さとそこでの到着数 $k_i$ のみによって定まるものとする。この条件から特に1つの時間区間 $(t_0,t_0+t)$ をとるときそこに $k$ 人到着する確率は $t_0$ に無関係で $k$ と長さ $t$ のみに関係する。

条件２．（到着に残留効果がないこと）1つの任意の時間区間 $(t_0,t_0+t)$ をとるとき、そこに $k$ 人到着する確率は $t_0$ 以前のどの時間でどれだけとうちゃくしたかに何の影響も受けない。 $t_0$ 以前の客の到着のあり方について何か与えられても、そのもとでこの時間区間内に $k$ 人到着する条件付確率は条件を外した確率に等しい。

条件３．（到着の整列性）長さ $t$ の任意の時間区間内に2人以上到着する確率を $P(t,\geqq 2)$ で表せば

$\displaystyle{\frac{P(t,\geqq 2)}{t} \to 0 (t \to 0)}$

あるいは同じことであるが、 $P(t,\geqq 2) = o(t^2) ( t\to 0)$ が成立すること、この条件は同一時刻に2人以上の客が重なって到着する可能性がないことを意味し、客はある時間はなれて1人ずつ順序良く到着することを意味している。

長さ1のある時間区間を考え、この区間内に誰も到着しない確率を $\phi =P_0(1)$ とする。この時間区間を $n$ に等分割すれば上述の時間区間にだれも到着しないということはこれら分割された $n$ 個の区間のどれにも到着がないということと同じであるから条件１．２．によって

$\displaystyle{\phi = \left[ P_0 \left( \frac{1}{n} \right)\right]^n}$

したがって長さ $1/n$ の時間区間内に誰も到着しない確率は

$\displaystyle{ P_0 \left( \frac{1}{n} \right) = \phi^{\frac{1}{n}} }$

長さ $k/n$ の時間区間内に到着しない確率は

$\displaystyle{P_0 \left( \frac{k}{n} \right) = \phi^{\frac{k}{n}} }$

である。 $t$ を非負の実数、 $n$ を自然数として

$\displaystyle{\frac{k-1}{n} \leqq t \lt \frac{k}{n} }$

なる自然数 $k$ を定める。このような自然数の組 $n,k$ は無数に存在する。また $P_0(t)$ は $t$ の減少関数である。なぜなら $t_1 \leqq t_2$ なるとき、区間 $(0,t_2)$ に到着がなければそれに含まれる $(0,t_1)$ には当然到着がないから $P_0(t_2) \leqq P_0 (t_1)$ よって

$\displaystyle{P_0 \left( \frac{k-1}{n} \right) \geqq P_0(t) \geqq P_0 \left( \frac{k}{n}\right)}$

したがって

$\displaystyle{\phi^{\frac{k-1}{n}} \geqq P_0(t) \geqq \phi^{\frac{k}{n}}}$

ここで $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\frac{k}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{k-1}{n} = t}$ なるように極限をとると

$P_0 (t) = \phi^t$

$P_0 (t)$ は確率であるから $0 \geqq P_0(t) \geqq 1$ を満足し、したがって次の3つの場合が考えられる。

$(1) \phi =0 (2) \phi = 1 (3) 0 \lt \phi \lt 1$

(1)の場合は任意の区間の長さ $t$ に対して $P_0(t)=0$ となり、任意の時刻で1人以上の客が到着する確率が1であることに反する。(2)の場合には任意の区間の長さ $t$ に対しずっと到着がおこらないことを意味する。(3)の場合には $e^{-\lambda}$ ( $\lambda$ は正数)とおけるから $P_0(t)=e^{-\lambda t}$ と書ける。

長さ $t$ の時間区間に誰も到着しない事象、ただ1人到着する事象および2人以上到着する事象は互いに排反であり、なおかつこれらの事象は全事象であるから、

$P_0(t) + P_1(t)+P(t,\geqq 2)=1$

これと条件３．から

$P_1(t)=1-e^{-\lambda t} + o(t^2) = \lambda t + o(t^2) (t \to 0)$

長さ $t+h$ の時間区間内にちょうど $k$ 人到着する確率を求める。これは次の $k+1$ 個の排反事象の和事象である。

0)長さ $t$ の時間区間内にちょうど $k$ 人到着し、残りの $h$ の時間区間内には誰も到着しない。

1)長さ $t$ の時間区間内にちょうど $k-1$ 人到着し、残りの $h$ の時間区間内には1人到着する。

$\vdots$

k)長さ $t$ の時間区間内にちょうど0人到着し、残りの $h$ の時間区間内には $k$ 人到着する。

したがって

$\displaystyle{ P_k(t+h)=\sum_{i=0}^k P_{k-i}(t) P_i(h)=\sum_{i=0}^k P_i(t) P_{k-i}(h)}$

$P_i (t) \leqq 1 ( i=0,1,\cdots,k-2)$ であるから

$\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k-2} P_i(t) P_{k-i}(h) = \sum_{i=0}^{k-2} P_{k-i}(h)= \sum_{i=2}^k P_i (h) = \sum_{i=2}^\infty P_i (h) = o(h^2), (h\to 0) }$