2項分布、ポアソン分布

確率

Eという事象が起こるか起こらないかだけを問題とする。

定義　1回の試行でEの起こる確率をp起こらない確率をq(つまりq=1-p)とする。N回の試行でEがr回起こる確率B_{N,p}(r)を2項分布という。

命題　B_{N,p}(r)={_N}C_r p^rq^{N-r}で与えられる。

証明　\displaystyle{(p+q)^N=\sum_{r=0}^N {_N}C_r p^r q^{N-r}=1}であるから、確率pの事象Eがr回、確率qの事象がN-r回起こる確率B_{N,p}(r)={_N}C_r p^rq^{N-r}で与えられる。 

命題　2項分布B_{N,p}(r)の平均はNpである。

証明　平均\displaystyle{m_r=\sum_{r=0}^N r B_{N,p} (r)=\sum_{r=0}^N r {_N}C_r p^r q^{N-r}}である。

\displaystyle{(p+q)^N=\sum_{r=0}^N {_N}C_r p^r q^{N-r}}の両辺をpで微分して両辺にpをかけると

\displaystyle{Np(p+q)^{N-1}=Np=\sum_{r=0}^N r {_N}C_r p^r q^{N-r}}

したがって平均はNpである。

 

定義　\displaystyle{P_\lambda (r)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^r}{r!}}で定義される0以上の実数の分布をポアソン分布という。

命題　2項分布B_{N,p}(r)でNp=\lambdaを一定に保ってNを大きくする極限をとるとポアソン分布になる。

証明　\displaystyle{B_{N,p}(r)={_N}C_r p^r q^{N-r}=\frac{N!}{r!(N-r)!}\left(\frac{\lambda}{N}\right)^r\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N-r}}

\displaystyle{=\frac{\lambda^r}{r!}\frac{N}{N}\frac{(N-1)}{N}\cdots \frac{(N-r+1)}{N}\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{-r}\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^N}

\displaystyle{\frac{N-1}{N},\frac{N-2}{N}\cdots\frac{N-r+1}{N},\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{-r}}はNを大きくする極限で1に収束する。

\displaystyle{\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^N=\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{(-\frac{N}{\lambda})(-\lambda)}}であり、\displaystyle{\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{-\frac{N}{\lambda}}}はNが無限大の極限でeに収束するから

\displaystyle{B_{N,p}(r) \to \frac{\lambda^r e^{-r}}{r!}=P_\lambda(r)}

 

長さNの線分にN個の粒子を落とすことを考える。単位長さあたり平均1個である。どこに落ちるかは均等と仮定する。長さ\lambdaの特定の線分上に何個落ちるかを考えると1個の粒子がそこに落ちる確率は\displaystyle{\frac{\lambda}{N}}ちょうどr個落ちる確率は

\displaystyle{B_{N,\frac{\lambda}{N}}(r)={_N}C_r \left(\frac{\lambda}{N}\right)^r \left( 1 - \frac{\lambda}{N}\right)^{N-r}}

であり、ここでNを無限大にした無限に長い線分に無限に多くの粒子を落とす状態を考えるのだが単位長さあたりに1個という割合をかえないとするとポアソン分布に近づくので、単位長さあたり平均1個の粒子を落としたとき特定の\lambda個の区画上に実際にr個落ちる確率ということになる。また期待値はNp=\lambdaである。