定理 任意の線形変換のJordan標準形の一意性 体上の次元線形空間とする。を線形写像とする。このときの基底との基底に関する行列がJordan行列であるとすると、Jordan細胞の並べ方を除いて一意的である。 証明 の二つの基底に関するの表現行列がそれぞれJorda…

定理 任意の線形変換のJordan標準形の存在 上の次元線形空間線形写像とする。このときの基底でのに関する表現行列がJordan行列であるものが存在する。 証明 一般固有空間への直和分解の補題の記号をそのまま使うと各は不変で のへの制限は冪零であるから、の…

補題 一般固有空間への直和分解 体上の次元線形空間とする。を線形写像とする。の特性多項式の相異なる根全体をそれらの重複度をとするとき、とおくと、は不変で。 証明 各が不変であることを示す。とすると であるからである。 であることを示す。に対し、 …

定理 体上の線形空間の線形変換の固有値がすべて同一ならば、の適当な基底に関するの表現行列はJordan行列になる。それはJordan細胞の並べ方を除けば一意的である。 証明 の唯一つの特性根をとする。の特性根はだけ、すなわちは冪零であるからの適当な基底に…

命題 冪零変換のJordan標準形の一意性 体は,とする。を次元線形空間とする。を冪零変換とすると、の表現行列であるJordan行列はJordan細胞の並べ方を除けば一意的である。 証明 なら明らかなので、とする。とする。 をJordan行列での適当な基底に関するの表…

体は,とする。を次元線形空間とする。で固有値の次のJordan細胞を表す。 \begin{equation}J_1(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda \end{pmatrix},J_2(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix},J_3(\lambda) = \begin{pmatrix}…