Jordan標準形5　任意の線形変換のJordan標準形の存在

線形代数

定理　任意の線形変換のJordan標準形の存在

\mathbb{C}上のn次元線形空間V, T: V \to V線形写像とする。このときVの基底\mathscr{E}でTの\mathscr{E}に関する表現行列がJordan行列であるものが存在する。

 

証明

一般固有空間への直和分解の補題の記号をそのまま使うと各V_iはT不変で

V = V_1 \oplus \cdots \oplus V_r

T-\beta_i IのV_iへの制限N_i:=(T-\beta_i)|_{V_i}は冪零であるから、V_iの基底\mathscr{E}_iでN_iの\mathscr{E}_iに関する表現行列はJ_i-\beta_i I_{m_i}である（I_{m_i}はm_i次の単位行列）。

\mathscr{E}_1,\mathscr{E}_2,\dots,\mathscr{E}_rを合わせるとVの基底になる。それを\mathscr{E}と表すと\mathscr{E}に関するTの表現行列は

(J_1-\beta_1 I_{m_1})\oplus \cdots \oplus (J_r-\beta_r I_{m_r})

となるが、これはJordan行列である。

 

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