Jordan標準形2　冪零変換のJordan標準形の一意性

線形代数

命題　冪零変換のJordan標準形の一意性

 体Kは\mathbb{C}, n \in \mathbb{N}とする。V = K^nをn次元線形空間とする。 T : V \to Vを T^n = O 冪零変換とすると、Tの表現行列であるJordan行列はJordan細胞の並べ方を除けば一意的である。

 

証明

T=Oなら明らかなので、T\neq Oとする。T^k = O,T^{k-1}\neq O, 2 \leq k \leq nとする。

JをJordan行列でVの適当な基底に関するTの表現行列とする。J^k = O,J^{k-1} \neq OであるからJの中のJordan細胞の最大次数はkである。1\leq j \leq kなるjに対しJのj次Jordan細胞の個数をm_j \geq 0とする。\{ m_j | 1 \leq j \leq k\}がTで定まることを示す。

r_i = \mbox{rank} T^i ( 0 \leq i \leq k-1)とおく。これは基底の取り方によらず定まるが、表現行列を用いて計算することもできる。

\displaystyle{ r_i = \mbox{rank} J^i = \sum_{j=0}^k m_j \times J_j(0)^i = \sum_{j=i+1}^k m_j (j-i)}

これを書き下ろすと,

r_{k-1} = m_k

r_{k-2} = m_{k-1} + 2 m_k

\vdots

r_{k-j} = m_{k-j+1} + 2 m_{k-j+2} + \cdots + (j-1) m_{k-1} + j m_k

\vdots

r_1 = m_2 + 2 m_3 + \cdots + (k-1) m_k

r_0 = m_1 + 2 m_2 + \cdots + (k-1) m_{k-1} + k m_k

となってm_k,m_{k-1},\ldots, m_1がr_{k-1},r_{k-2},\ldots, r_1, r_0によって決まることがわかる。

 

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