Jordan標準形6　任意の線形変換のJordan標準形の一意性

線形代数

定理　任意の線形変換のJordan標準形の一意性

体\mathbb{C}上のn次元線形空間Vとする。T:V\to Vを線形写像とする。このときVの基底\mathscr{E}とTの基底\mathscr{E}'に関する行列がJordan行列であるとすると、Jordan細胞の並べ方を除いて一意的である。

 

証明

Vの二つの基底\mathscr{E},\mathscr{E}'に関するTの表現行列がそれぞれJordan行列J,J'であったとし、\alphaを固有値の一つとする。このときJ-\alpha I_n, J'-\alpha I_n はそれぞれ\mathscr{E},\mathscr{E}'はそれぞれT-\alpha E  における冪零行列であるからJ-\alpha I, J'-\alpha Iの固有値はすべて0である。つまり\exists:k , \ell \in \mathbb{N}

t_1,\ldots, t_k,s_1,\ldots,s_\ell \geq 0

J-\alpha I_n= J_{t_1} (0) \oplus \cdots \oplus J_{T_\ell}(0),

J'-\alpha I_n = J_{s_1}(0)\oplus \cdots \oplus J_{S_t}(0)

は命題より次数jの細胞の個数が二つの行列で共通である。

 

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