Jordan標準形4　一般固有空間への直和分解

線形代数

補題　一般固有空間への直和分解

体\mathbb{C}上のn次元線形空間Vとする。T:V\to Vを線形写像とする。Tの特性多項式\Phi_T(x)=\det(xI-T)の相異なる根全体を\{\beta_1,\ldots,\beta_r\}それらの重複度をm_1,\ldots,m_rとするとき、f_j(x)=(x-\beta_j)^{m_j},V_j:=\ker f_j=\{u\in V | (T-\beta_j I )^{m_j} u =0\}(j=1,\ldots,r)とおくと、V_jはT不変でV=V_1\oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_r。

 

証明

各V_jがT不変であることを示す。u\in V_jとすると

 (T-\beta_j I )^{m_j}(Tu)= T \{ (T-\beta_j I )^{m_j}u\}=T0=0

であるからTu\in V_jである。

 V=V_1+V_2+\cdots+V_rであることを示す。j \in \{1, \ldots, r\}に対し、

\displaystyle{g_j(x):=\frac{\Phi_T(x)}{f_j(x)}} = \prod_{i \neq j} (x - \beta_i)^{m_i}

とおくと、g_1(x),\ldots,g_r(x)の最大公約多項式は1であるから、 \exists h_1(x),\ldots,h_r(x)\in \mathbb{C}[x]

\displaystyle{\sum_{i=1}^r g_i(x)h_i(x)=1}

u\in Vに対しu_i := g_i(T)h_i(T)uとおくと\displaystyle{\sum_{i=1}^r u_i = u}

 実はu_i \in V_iである。実際、Cayley-Hamiltonの定理より\Phi_T(T)=0

f_i(T)u_i = f_i(T)g_i(T)h_i(T)u_i = \Phi_T(T)h_i(T)u_i=0

最後にi\neq jならばV_i\cap V_j = \{  0\}を示す。f_i(x),f_j(x)は互いに素であるから、\exists \varphi_i (x),\varphi_j(x)\in \mathbb{C}[x], \quad \varphi_i(x)f_i(x) + \varphi_j(x)f_j(x)=1。

\therefore \forall u \in V \quad \varphi_i(T)f_i(T)u + \varphi_j(T)f_j(T)u = u

が成り立つが、u \in V_i\cap V_jの場合はf_i(T)u=f_j(T)u=0であるからu=0、すなわちu \in V_i\cap V_j=\{0\}

 

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