補題 一般固有空間への直和分解
体上の次元線形空間とする。を線形写像とする。の特性多項式の相異なる根全体をそれらの重複度をとするとき、とおくと、は不変で。
証明
各が不変であることを示す。とすると
であるからである。
であることを示す。に対し、
とおくと、の最大公約多項式はであるから、
に対しとおくと
実はである。実際、Cayley-Hamiltonの定理より
最後にならばを示す。は互いに素であるから、。
が成り立つが、の場合はであるから、すなわち
Jordan標準形の存在の一意性定理については斎藤正彦先生の線型代数演習が非常にコンパクトです。おすすめです。