待ち行列１．到着する人数の確率分布と到着間隔の分布 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

$s$ 時点から $s+t$ 時点までの間に $n$ 人到着する確率は時間間隔 $t$ だけの関数であって、 $s$ とは無関係である。この確率を $t$ だけの関数として $q_n(t)$ と書くことにするとパラメーター $\lambda t$ のポアソン分布を満たし、 $\displaystyle{q_n(t)=\frac{(\lambda t)^n}{n!} e^{-\lambda t}=P_{\lambda t}(n)}$ と書ける。期待値は $\lambda t$ であり、 $\lambda t$ は $t$ 時間内に到着する人数の平均値であるから、 $\lambda$ は単位時間あたりの平均到着人数（平均到着率）を表す。この到着のパターンをポアソン到着という。これは、

$\displaystyle{\frac{d q_n(t)}{dt}=-\lambda q_n (t) + \lambda q_{n-1} (t),n \geqq 1}$

$\displaystyle{\frac{d q_0(t)}{dt}=-\lambda q_0 (t)}$

なる連立微分方程式の解である。

次にポアソン到着の場合の到着時間間隔の分布を調べてみる。1人到着してから次の人が到着するまでの時間間隔をあらわす確率変数を $T$ とおく。このとき $T\gt t$ という事象は $t$ 時間以内に1人も到着しないということを意味する。ということは $t$ 時間以内の到着人数は $0$ ということと同じであり、その確率は $q_n(t)$ の $n=0$ の場合である。したがって $P(T\gt t)=q_0(t)=e^{-\lambda t}$ となるから、 $F(t)=P(T \leqq t)=1-e^{-\lambda t}$ から密度関数 $\displaystyle{f(t)=\frac{d F(t)}{dt}=\lambda e^{-\lambda t}}$ となって指数分布となる。 $t$ 時間以内に $n$ 人到着する確率は $q_n(t)$ であるが、この確率はまた区間 $(0,t)$ のどこかの時点 $\tau$ と $\tau+d\tau$ の間で最初の1人が来て、あとの $t-\tau$ 時間の間に残りの $n-1$ 人が来るという事象の確率を $\tau$ について $0$ から $t$ まで積分したものと考えてもよい。こう考えれば $P(\tau \lt T \leqq \tau +d\tau)=\lambda e^{-\lambda \tau}d \tau$ であり、 $t-\tau$ 時間の間に $n-1$ 人来る確率は $q_n(t-\tau)$ であるから

$\displaystyle{q_n(t)=\int_0^t \lambda e^{-\lambda \tau}q_{n-1}(t-\tau) d\tau}$

という関係式が得られる。

$\displaystyle{q_1(t)=\int_0^t \lambda e^{-\lambda \tau} q_0 (t-\tau) d\tau=\int_0^t \lambda e^{-\lambda \tau} e^{-\lambda(t-\tau)}d\tau = \lambda t e^{-\lambda t}}$

$\displaystyle{q_2(t)=\int_0^t \lambda e^{-\lambda \tau} q_1 (t-\tau) d\tau=\int_0^t \lambda e^{-\lambda \tau} \lambda (t-\tau) e^{-\lambda(t-\tau)}d\tau }$

$\displaystyle{=\int_0^t \lambda^2 (t-\tau) e^{-\lambda t}d\tau= \frac{(\lambda t)^2}{2} e^{-\lambda t}}$ 以下同様に $\displaystyle{q_{n-1}(t)=\frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!} e^{-\lambda t}}$ と成立しているとすると、

$\displaystyle{q_n(t)=\int_0^t \lambda e^{-\lambda \tau} q_{n-1} (t-\tau) d\tau=\int_0^t \lambda e^{-\lambda \tau} \frac{\lambda^{n-1}}{(n-1)!} (t-\tau)^{n-1} e^{-\lambda(t-\tau)}d\tau }$