待ち行列３．窓口は1つ行列の長さ無制限の場合の平均人数

確率 待ち行列 基本情報処理試験

表題の場合P_nについての基本方程式がそのまま成り立つからすべてのn\geqq 1に対して\displaystyle{P_n = \left( \frac{\lambda}{\mu} \right)^n P_0}が成り立つ。

平均到着率\lambdaと平均サービス率\muに対して\lambda \lt \muという条件をつける。\lambda \geqq \muならば1時間当たり到着する人数の平均値がサービスを終える人数の平均値より大きいから窓口に並ぶ人は増加する一方になるからである。

\displaystyle{\rho =\frac{\lambda}{\mu}}とおけば、P_n = \rho^n P_0であり、\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty P_n = 1}であるから、

\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty P_n = P_0 \sum_{n=0}^\infty \rho^n = \frac{P_0}{1-\rho} =1}

したがってP_0=1-\rhoこうしてP_n=(1-\rho)\rho^nが得られる。

P_0はサービスステーションに誰もいない確率すなわち窓口が空いている確率だから\rho = 1-P_0は窓口が使われている確率である。その意味で\rhoは平均利用率とも呼ばれる。

ステーションの中にいる平均人数は

\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty n P_n =\sum_{n=1}^\infty  n ( 1 - \rho ) \rho^n=(1 - \rho)\rho \sum_{n=1}^\infty n \rho^{n-1}}

\displaystyle{1 + 2 \rho + 3 \rho^2 + \cdots = (1 + \rho + \rho^2+ \cdots)+\rho(1 + \rho+ \rho^2 + \cdots) + \rho^2(1 + \rho +\cdots)}

\displaystyle{=\frac{1}{1-\rho}(1+\rho+\rho^2+\cdots)=\frac{1}{(1-\rho)^2}}

したがってステーションの中にいる平均人数は

\displaystyle{(1-\rho)\rho \frac{1}{( 1 - \rho)^2}=\frac{\rho}{1-\rho}}

で与えられる。