Jordan標準形1　冪零変換のJordan標準形の存在 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

体 $K$ は $\mathbb{C}$ , $n \in \mathbb{N}$ とする。 $V = K^n$ を $n$ 次元線形空間とする。 $J_n (\lambda)$ で固有値 $\lambda$ の $n$ 次のJordan細胞を表す。

\begin{equation}
J_1(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda \end{pmatrix},
J_2(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix},
J_3(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix}
\end{equation}

命題　冪零変換のJordan標準形の存在

$T : V \to V$ を $T^n = O$ なる冪零変換とする。このとき、 $V$ の基底 $\mathscr{E}$ で $T$ の $\mathscr{E}$ における表現行列がJordan行列であるものが存在する。

証明

$T=O$ なら $V$ の任意の基底に対し $T$ はJordan標準形であるから $T \neq O$ とする。

次元 $n$ に関する帰納法を用いる。 $n=1$ のとき $V$ の任意の基底に関して $T$ はJordan標準形である。 $n \geq 2$ として $n-1$ 次元以下で成立すると仮定する。

$T \neq O, T^n=O$ より、 $\exists k \in \{ 2,3, \ldots, n\}, T^{k-1} \neq O$ かつ $T^k=O, \exists e \in V, T^{k-1} e \neq 0$ なる $e$ を一つ固定する。

すると $\{T^{k-1} e, T^{k-2} e, \ldots, T e , e\}$ は一時独立である。実際、

$c_1 T^{k-1} e+ c_2 T^{k-2} e + \cdots +c_{k-1} Te + C_k e = 0$

に $T^{k-1}$ をかけると、 $T^k = O$ から $c_k T^{k-1}e = 0$ となって、 $c_k=0$ 。 $c_k = 0$ より $T^{k-2}$ をかけると $c_{k-1}=0$ 、となって次々と

\begin{equation}
c_1 = c_2= \cdots = c_k = 0
\end{equation}

が得られる。

$W:= \lt e,Te,\ldots, T^{k-1}e$ の張る $V$ の部分空間 $\gt$
とすると、 $\forall u \in W, Tu \in W$ である。

$T(T^{k - 1}e, T^{k - 2}e, \ldots , Te , e) = (0, T^{k - 1}e, \ldots, T^2 e , Te)$

\begin{equation} = (T^{k - 1}e, T^{k - 2}e, \ldots , Te , e) \times \begin{pmatrix}
0 & 1 & & & 0 \\
& 0 & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & 1\\
0 &&&& 0
\end{pmatrix}
\end{equation}
$= (T^{k - 1}e, T^{k - 2}e, \ldots , Te , e) J_k(0)$
すなわち、 $T$ の制限 $T|_W : W \to W$ の基底 $\{ e,Te,\ldots, T^{k-1}e\}$ に関する表現行列は $J_k(0)$ である。ゆえに $k=n$ ならば $W=V$ で命題の主張は成立しているので $k\lt n$ と仮定する。

$V$ の $T$ 不変部分空間 $U$ で $U \cap W = \{0\}$ となるものの内（これは必ず存在する。例えば $U=\{0\}$ ）で最大次元のものをとる。 $V=U+W$ が成り立つがこれを背理法により示す。

$V \supsetneq U+W$ と仮定する。 $a \in V \setminus \{U + W\}$ をとる。

$a \notin U + W$ また $T^k=0$ より、 $T^k a = 0 \in U+W$ であるから、 $\ell \in \{1,2,\ldots,k| T^{\ell -1} \notin U+W,T^\ell \in U+W\}$

$\displaystyle{ \exists u \in U \exists c_0,\ldots, c_{k-1} \in K \quad T^\ell a = u + \sum_{i=0}^{k-1} c_i T^i e}$

この等式の両辺に $T^{k-1}$ をかけると $T^k = O$ より

$0 = T^{\ell + k -1}a = T^{k-1}u + c_0 T^{k-1} e$

$\therefore - T^{k-1} u = c_0 T^{k-1} e$ かつ $u\in U$ で $U$ は $T$ 不変と仮定してあるから、 $- T^{k-1} u \in U, c_0 T^{k-1}e \in W$ さらに $U\cap W = \{ 0 \}$ と仮定しているから $- T^{k-1} u = c_0 T^{k-1} e=0 \therefore c_0 = 0$ 。

$\displaystyle{ b:= T^{\ell-1} a - \sum_{i=1}^{k-1} c_i T^{i-1}}$

とおくと、

$\displaystyle{Tb = T^\ell a - \sum_{i=1}^{k-1} c_i T^i e = T^\ell a - \sum_{i=0}^{k-1} c_i T^i e = u }$

であるが、もしも $b \in U+W$ ならば $\displaystyle{T^{\ell-1}a= b + \sum_{i=1}^{k-1} c_i T^{i-1}\in U+W}$ となって $\ell$ の選び方に反するから $b \notin U+W$ 。

$U$ と $b$ の張る空間を $U'$ とすると $\dim U' = \dim U +1$ で、 $U'$ は $T$ 不変である（ $U$ の取り方より $TU \subset U$ 。また、 $Tb=u\in U$ なので $TU'\subset U \subset U'$ ）。

$w \in U'\cap W$ とすると、 $w\in U'$ であるから $\exists v \in U, t \exists \in K, w=v+tb$ と書けるから、 $tb = -v +w \in U+W, b\notin U+W$ だから $t=0$ 。

よって $w=v\in U \cap W=\{0\}$ となり $U'\cap W=\{0\}$ が成り立つ。これは $U$ が最大次元であることに反する。したがって、 $V=U+W$ 。

$U\cap W=\{0\}$ であるから、 $V=U \oplus W$ となる。帰納法の仮定により $\dim U \lt n$ であるから $U$ の適当な基底 $\mathscr{E}'$ に関する $T|_U$ の表現行列はJordan行列である。 $W$ の基底 $\{ e,Te,\ldots, T^{k-1}e\}$ とこの $\mathscr{E}'$ を合わせて作った表現行列はJordan標準形である。