2016年電験1種 理論問6

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 分布定数回路の終端Aに負荷として抵抗rとインダクタンスLのコイルを接続するとき、入射波が終端Aに到達した後の終端Aでの電圧、電流の関係式は、次のとおりである。半無限長無損失線路でるから、特性インピーダンスZは周波数依存性のない抵抗である。また、入射波eが終端Aに到達したとき、波形はそのままで波高値Eのステップ電圧である。

e+ e_1 = Zi+(-Zi_1) = e_\mathrm{A}

 i + i_1 = i_0

ここで、e,i入射波の電圧・電流、e_1,i_1反射波の電圧・電流、i_0負荷に流れる電流、e_\mathrm{A}終端Aおよび負荷の両端の電圧

また、負荷に流れる電流i_0と、その両端の電圧e_\mathrm{A}との間には

\displaystyle{e_\mathrm{A} = L \frac{d i_0}{dt} + r i_0}

(1)の解答(ハ)

 

が成り立つ。 i + i_1 = i_0 e= Zi,e_1= -Ziを代入すると

\displaystyle{ \frac{1}{Z}e - \frac{1}{Z}e_1 = i_0}

\therefore e - e_1 = Z i_0

これとe+ e_1 =  e_\mathrm{A}を連立してe_1を消去すると、

 2e = e_\mathrm{A} + Z i_0

e=Ee_\mathrm{A}微分方程式を代入すると、

\displaystyle{ 2E = L \frac{d i_0}{dt} + r i_0+ Z i_0 = L \frac{d i_0}{dt} + (r+Z) i_0}

\displaystyle{ L \frac{ d i_0}{dt} = - (r + Z)i_0 + 2E = -(r + Z) \left( i_0 - \frac{2E}{r+Z} \right)}

\displaystyle{ \frac{d i_0}{ i_0 - \frac{2E}{r+Z} } = - \frac{r+Z}{L} dt }

両辺を積分すると、

\displaystyle{ \ln \left( i_0 - \frac{2E}{r+Z} \right) = - \frac{r+Z}{L} t + C}

ただし、C積分定数

 \displaystyle{ \therefore i_0 (t)= \frac{2E}{r+Z} + C'\exp\left(- \frac{r+Z}{L}t\right) }

初期条件はt=0i_0=0なので、

 \displaystyle{ \frac{2E}{r+Z} + C' =0}

\displaystyle{ \therefore i_0(t) = \frac{2E}{r+Z}\left\{ 1 - \exp\left( - \frac{r+Z}{L} t\right) \right\} }

(2)の解答(イ)

 

i_0は初期値が0、最終値\displaystyle{\frac{2E}{r+Z}}で、時定数\displaystyle{T= \frac{L}{r+Z}}で指数関数的に増加する。

(3)の解答(ル)

 

e_A微分方程式に代入すると、

\displaystyle{ e_A = L \times \frac{2E}{r+Z} \times \frac{r+Z}{L} \exp\left(- \frac{r+Z}{L}t\right) + r \times \frac{2E}{r+Z}\left\{ 1 - \exp\left( - \frac{r+Z}{L}t \right) \right\} }

\displaystyle{ = \frac{2E}{r+Z} \left\{ r + Z \exp\left( - \frac{r+Z}{L}t \right) \right\} }

(4)の解答(ホ)

 

初期値は2E、最終値\displaystyle{\frac{2rE}{r+Z}}時定数\displaystyle{T= \frac{L}{r+Z}}で指数関数的に減少する。

(5)の解答(ワ)