2016年電験1種　理論問6 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

分布定数回路の終端Aに負荷として抵抗 $r$ とインダクタンス $L$ のコイルを接続するとき、入射波が終端Aに到達した後の終端Aでの電圧、電流の関係式は、次のとおりである。半無限長無損失線路でるから、特性インピーダンス $Z$ は周波数依存性のない抵抗である。また、入射波 $e$ が終端Aに到達したとき、波形はそのままで波高値 $E$ のステップ電圧である。

$e+ e_1 = Zi+(-Zi_1) = e_\mathrm{A}$

$i + i_1 = i_0$

ここで、 $e,i$ 入射波の電圧・電流、 $e_1,i_1$ 反射波の電圧・電流、 $i_0$ 負荷に流れる電流、 $e_\mathrm{A}$ 終端Aおよび負荷の両端の電圧

また、負荷に流れる電流 $i_0$ と、その両端の電圧 $e_\mathrm{A}$ との間には

$\displaystyle{e_\mathrm{A} = L \frac{d i_0}{dt} + r i_0}$

(1)の解答（ハ）

が成り立つ。 $i + i_1 = i_0$ に $e= Zi,e_1= -Zi$ を代入すると

$\displaystyle{ \frac{1}{Z}e - \frac{1}{Z}e_1 = i_0}$

$\therefore e - e_1 = Z i_0$

これと $e+ e_1 = e_\mathrm{A}$ を連立して $e_1$ を消去すると、

$2e = e_\mathrm{A} + Z i_0$

$e=E$ と $e_\mathrm{A}$ の微分方程式を代入すると、

$\displaystyle{ 2E = L \frac{d i_0}{dt} + r i_0+ Z i_0 = L \frac{d i_0}{dt} + (r+Z) i_0}$

$\displaystyle{ L \frac{ d i_0}{dt} = - (r + Z)i_0 + 2E = -(r + Z) \left( i_0 - \frac{2E}{r+Z} \right)}$

$\displaystyle{ \frac{d i_0}{ i_0 - \frac{2E}{r+Z} } = - \frac{r+Z}{L} dt }$

両辺を積分すると、

$\displaystyle{ \ln \left( i_0 - \frac{2E}{r+Z} \right) = - \frac{r+Z}{L} t + C}$

ただし、 $C$ 積分定数。

$\displaystyle{ \therefore i_0 (t)= \frac{2E}{r+Z} + C'\exp\left(- \frac{r+Z}{L}t\right) }$

初期条件は $t=0$ で $i_0=0$ なので、

$\displaystyle{ \frac{2E}{r+Z} + C' =0}$

$\displaystyle{ \therefore i_0(t) = \frac{2E}{r+Z}\left\{ 1 - \exp\left( - \frac{r+Z}{L} t\right) \right\} }$

(2)の解答（イ）

$i_0$ は初期値が0、最終値が $\displaystyle{\frac{2E}{r+Z}}$ で、時定数 $\displaystyle{T= \frac{L}{r+Z}}$ で指数関数的に増加する。

(3)の解答（ル）

$e_A$ の微分方程式に代入すると、

$\displaystyle{ e_A = L \times \frac{2E}{r+Z} \times \frac{r+Z}{L} \exp\left(- \frac{r+Z}{L}t\right) + r \times \frac{2E}{r+Z}\left\{ 1 - \exp\left( - \frac{r+Z}{L}t \right) \right\} }$