2018年電験1種　機械制御問3

電験1種 機械制御 電験

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 (1)インバータが停止しているとき、コンデンサは常に充電されるから、回路には常に最大電圧が印加される。よってインバータ停止中の直流コンデンサ電圧は

V_\mathrm{d} = \sqrt{2} V_\mathrm{S}

 

(2)コンデンサによるリプル電圧は無視してよいから、コンデンサをないものとして考える。ダイオードに整流された電圧波形は 

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 以上のようになり、\displaystyle{\frac{\pi}{3}}のサイクルで同じパターンを繰り返す。一つのサイクルの平均値を求めれば、全体の平均値となるので、\sqrt{2}\cos \omega tの

\displaystyle{ - \frac{\pi}{6} \leq \omega t \leq \frac{\pi}{6} }

の期間の平均値を求めればインバータが動作中の直流コンデンサ電圧V_\mathrm{d}となる。

\displaystyle{ \frac{3}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{6}}^\frac{\pi}{6} \sqrt{2} V_\mathrm{S} \cos \omega t d(\omega t) = \frac{3 \sqrt{2}}{\pi} V_\mathrm{S} [ \sin \omega t ]_{-\frac{\pi}{6}}^\frac{\pi}{6} = \frac{3 \sqrt{2}}{\pi} \left( 2 \sin \frac{\pi}{6} \right) = \frac{3 \sqrt{2}}{\pi} V_\mathrm{S} }

 

(3)PWMが発生させる基本周波数は信号波の周波数と一致し、その振幅は信号波の振幅の大きさに比例する。信号波{v_\mathrm{u}}^* = A \sin \omega tであり、v_\mathrm{un}の振幅の大きさはAと比例し、\displaystyle{ \frac{A}{2} V_\mathrm{d} }となる。よって、v_\mathrm{uv}の基本波の振幅は\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}A}{2} V_\mathrm{d}}と表すことができる。

Aが1よりも大きくなると、信号波が搬送波の範囲を超えてしまい、V_\mathrm{1uv}は、A=1のときの振幅を\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}倍して、

\displaystyle{ V_{1uv} = \frac{\sqrt{3}}{2} A V_\mathrm{d} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4} V_\mathrm{d} }

 

(4) \displaystyle{ B = \frac{1}{6} }を代入して、

\displaystyle{ {v_\mathrm{u}}^* = A \left( \sin \theta + \frac{1}{6} \sin 3 \theta \right) }

\displaystyle{ {v_\mathrm{v}}^* = A \left\{ \sin \left( \theta  - \frac{2 \pi }{3} \right) + \frac{1}{6} \sin 3 \theta \right\} }

\displaystyle{ {v_\mathrm{w}}^* = A \left\{ \sin \left( \theta  + \frac{2 \pi }{3} \right) + \frac{1}{6} \sin 3 \theta \right\} }

{v_\mathrm{u}}^*の最大値を求めるため、 {v_\mathrm{u}}^*を\thetaで微分した値が0となる点を求める。

\displaystyle{ \frac{d {v_\mathrm{u}}^*}{d \theta} = 0 }

\displaystyle{ \cos \theta + \frac{3}{6} \cos 3 \theta = \cos \theta + \frac{1}{2} (4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta) = 0 }

\displaystyle{ 2 \cos^3 \theta - \frac{1}{2} \cos \theta = 0 }

\displaystyle{ \cos\theta \left( \cos \theta - \frac{1}{2} \right) \left( \cos \theta + \frac{1}{2} \right) }

よって、{v_\mathrm{u}}^*が極大値または極小値をとる点は

\displaystyle{ \cos \theta = 0, \cos \theta = \pm \frac{1}{2} }

である。\cos \theta = 0 のとき

・ \displaystyle{ \theta = \frac{\pi}{2}}

\displaystyle{ {v_\mathrm{u}}^* = A \left( \sin \frac{\pi}{2} + \frac{1}{6} \sin \frac{3\pi}{2} \right) = A \left( 1 - \frac{1}{6} \right) = \frac{5}{6}A }

 ・ \displaystyle{ \theta = - \frac{\pi}{2}}

\displaystyle{ {v_\mathrm{u}}^* = A \left( \sin \frac{-\pi}{2} + \frac{1}{6} \sin \frac{-3\pi}{2} \right) = A \left( - 1 + \frac{1}{6} \right) = - \frac{5}{6}A }

 \displaystyle{ \cos\theta= \frac{1}{2} }のとき

・\displaystyle{ \theta=\frac{\pi}{3} }

\displaystyle{ {v_\mathrm{u}}^* = A \left( \sin \frac{\pi}{3} + \frac{1}{6} \sin \pi \right) =  \frac{\sqrt{3}}{2}A }

・\displaystyle{ \theta=-\frac{\pi}{3} }

\displaystyle{ {v_\mathrm{u}}^* = A \left( \sin \frac{-\pi}{3} + \frac{1}{6} \sin(- \pi) \right) =  - \frac{\sqrt{3}}{2}A }

\displaystyle{ \cos\theta= - \frac{1}{2} }のとき

・\displaystyle{ \theta=\frac{2\pi}{3} }

\displaystyle{ {v_\mathrm{u}}^* = A \left( \sin \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{6} \sin 2\pi \right) =  \frac{\sqrt{3}}{2}A }

・\displaystyle{ \theta=-\frac{2\pi}{3} }

\displaystyle{ {v_\mathrm{u}}^* = A \left( \sin \frac{-2\pi}{3} + \frac{1}{6} \sin(- 2\pi) \right) =  - \frac{\sqrt{3}}{2}A }

よって、最大値をとるのは\displaystyle{ \theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} }のときで、最大値は\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}A}である。

 

(5) V_\mathrm{1uv}がAに比例するためには信号波の最大値が搬送波の最大値である1よりも小さくなくてはならない。

この条件を満たすには、

\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2} A \leq 1 }

であるので、 \displaystyle{ A = \frac{2}{\sqrt{3}} }のとき、v_\mathrm{uv}の基本波の振幅は最大となる。v_\mathrm{uv}の基本波の実効値V_{1uv}は \displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{4} A V_\mathrm{d} }であるので

\displaystyle{ V_\mathrm{1uv} = \frac{\sqrt{6}}{4} A V_\mathrm{d} = \frac{\sqrt{6}}{4} \frac{2}{\sqrt{3}} V_\mathrm{d} = \frac{\sqrt{2}}{2} V_\mathrm{d} }