2017年電験1種　理論問3

電験1種 理論 電験

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t \geq 0において

\displaystyle{ L \frac{d i (t)}{dt} + ( R_1 + R_2) i(t) = 0 }

が成り立つからラプラス変換して

s L I(s) - L i(0) + (R_1 + R_2) I(s) = 0

\displaystyle{ I(s) = \frac{L}{s L + R_1 + R_2} i (0) }

(1)の解答（ロ）

 

i(0)の値は t \leq 0の範囲では単なる電圧E、抵抗R_1の直流回路だから

\displaystyle{i(0) = \frac{E}{R_1}}

(2)の解答（ニ）

 

\displaystyle{ I(s) = \frac{E}{R_1} \frac{1}{s + \frac{R_1+R_2}{L}} }

ラプラス逆変換すれば

\displaystyle{ i(t) = \frac{E}{R_1}\exp\left( - \frac{R_1+R_2}{L} t \right) }

(3)の解答（カ）

 

最終値定理は

\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} i(t) = \lim_{t \to 0} s I(s) = \lim_{t \to 0} \frac{E}{R_1}\frac{sL}{s L + R_1 + R_2} }

(4)の解答は（リ）

 

0 \leq t \leq \inftyでR_1で消費されるエネルギーは

\displaystyle{ W = \int_0^\infty i^2(t) R_1 dt = \int_0^\infty \left\{\frac{E}{R_1}\exp\left( - \frac{R_1+R_2}{L} t \right)\right\}^2 R_1 dt }

\displaystyle{ = \frac{E^2}{R_1} \int_0^\infty \exp\left( - \frac{2(R_1+R_2)}{L} t \right) dt }

\displaystyle{= \frac{E^2}{R_1} \left(- \frac{L}{2(R_1+R_2)}\right) \left[ \exp\left( -\frac{2(R_1+R_2)}{L} t \right)\right]_0^\infty }

\displaystyle{= \frac{LE^2}{2 R_1( R_1 + R_2)} }

(5)の解答は（ワ）