2018年電験1種　理論問3

電験1種 理論 電験

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 時刻tにおける抵抗Rに流れる電流をiとするとv_R = R i = R(i_L + i_C)。キルヒホッフの法則より

\displaystyle{L \frac{d i_L}{dt} + v_R = E}

\displaystyle{L \frac{d i_L}{dt} + R(i_L + i_C) = E}

(1)の解答は（ハ）

 

キャパシタCに蓄えられる電荷をqとするとキャパシタの電位差は\displaystyle{\frac{q}{C}}、キャパシタとインダクタからなる小回路でもキルヒホッフの法則が成り立つから

\displaystyle{L \frac{d i_L}{dt} - \frac{q}{C} = L \frac{d i_L}{dt} - \frac{1}{C} \int i_C dt}

(2)の解答は（カ）

 

\bigcirc\!\!\!\! {\scriptsize 1}\quad 式をi_Cについて解くことにより

\displaystyle{i_C = \frac{1}{R}\left( E- L \frac{d i_L}{dt}\right) - i_L}

\bigcirc\!\!\!\! {\scriptsize 2}\quad 式の両辺を時間tで微分すると

\displaystyle{L \frac{d^2 i_L}{dt^2} = \frac{1}{C} i_C }

が得られる。この式にi_Cを代入すると

\displaystyle{ L \frac{d^2 i_L}{dt^2}= \frac{1}{CR}\left( E - L \frac{d i_L}{dt}\right) -\frac{i_L}{C} }

\displaystyle{ RLC \frac{d^2 i_L}{dt^2} + L \frac{d i_L}{dt} + R i_L = E }

(3)の解答は（リ）

 

v_R =R(i_c + i_L)に\displaystyle{L \frac{d^2 i_L}{dt^2} = \frac{1}{C} - i_C }の関係式より

\displaystyle{v_R = RLC \frac{d^2 i_L}{dt^2} + R i_L}

従って、i_Lが振動的ならばv_Rも振動的である。

\displaystyle{ RLC \frac{d^2 i_L}{dt^2} + L \frac{d i_L}{dt} + R i_L = E }

の解i_Lが振動的になるのは特性方程式RLC \lambda^2 + L \lambda + R =0が実数解を持たないときである。つまり、

L^2 -4(RLC)R \lt 0

\therefore L - 4 R^2C \lt 0

(4)の解答は（ニ）

 

i_Lの定常解は

\displaystyle{ i_L = \frac{E}{R} }

に収束し、この特解の下ではキャパシタCの電荷q=0となるので

(5)の解答は（チ）