2018年電験1種　電力管理問3 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

（１）テブナンの定理を用いて等価回路に変換する。

まず左の電圧と二つのコンデンサのみからなる回路をみると合成コンデンサ

$\displaystyle{\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}$

$\displaystyle{C=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}}$

コンデンサ $C_1,C_2$ にかかる電圧は $V_1,V_2$ とし、

コンデンサに溜まる電荷 $Q$ とすると

$Q= C V = C_2 V_2$

$\displaystyle{ V_2 = \frac{C_1 V}{C_1+C_2} }$

一方、端子 $ab$ から見た電圧を短絡した回路はコンデンサ $C_1,C_2$ の並列回路だから $C_1$ にたまる電荷 $Q_1=C_1 V_2$ 、 $C_2$ にたまる電荷 $Q_2=C_2 V_2$ 、よって合成静電容量 $C_1+C_2$ 。したがって等価回路は

(2) $v_o$ が常に分圧されてVTに入力されるということは電圧降下がないということ、つまり $L,C_1+C_2$ による合成インピーダンスが $0$ ということである。

$\displaystyle{ 2 \pi f L \sqrt{-1} +\frac{1}{2 \pi f \sqrt{-1}(C_1+C_2)} =0}$

$4\pi^2 f^2 L(C_1 + C_2)=1$

(3)

(4)コンデンサ $C_o$ の電荷を $q(t)$ とする。コンデンサ電圧 $v_c(t)$ 、電流 $i_\mbox{CVT}(t)$ との間には

$q(t)=(C_1+C_2)v_c(t)$

$\displaystyle{ i_\mbox{CVT}(t) = \frac{dq(t)}{dt} = (C_1+C_2)\frac{dv_c(t)}{dt} }$

(3)の等価回路より

$\displaystyle{v_c(t) +( L + L_m)\frac{d i_\mbox{CVT}(t)}{dt} = v_o(t)}$

途中式を代入すると

$\displaystyle{ v_c(t) + (L + L_m)(C_1+ C_2)\frac{d^2v_c(t)}{dt^2} = \frac{C_1 V}{C_1+C_2} \sin \omega t}$

(5) $v_c(t)$ の微分方程式の定常解 $v_{cs}(t)$ は $v_o(t)$ と同相または逆位相の正弦波である。 $v_{cs}(t)=V_{cs}\sin\omega t$ とおくと

$\displaystyle{ \{ 1 -\omega^2(L+L_m)(C_1+C_2)\} v_{cs}(t)=\frac{C_1V}{C_1+C_2} \sin\omega t}$

$\displaystyle{ v_{cs}(t) = \frac{C_1V}{(C_1+C_2)\{1-\omega^2 ( L + L_m)(C_1+C_2)\}} \sin \omega t}$

$\displaystyle{\omega^2 (C_1+C_2)= \frac{1}{L}}$ なので

$\displaystyle{- \frac{C_1 LV}{(C_1+C_2)L_m}\sin \omega t }$

過度解は $v_{ct}(t)= K \exp \alpha t$ とおいて微分方程式の右辺を零とおいた微分方程式に代入すると

$1+(L+L_m)(C_1+C_2)\alpha^2 = 0$

$\displaystyle{\therefore \alpha= \pm \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{(L+L_m)(C_1+C_2)}}}$

$\displaystyle{v_{cs}(t) =K \cos\frac{1}{\sqrt{(L+L_m)(C_1+C_2)}} t + K' \sin\frac{1}{\sqrt{(L+L_m)(C_1+C_2)}} t}$

あらためて、

$\displaystyle{ v_{cs}(t) = \frac{C_1V}{(C_1+C_2)\{1-\omega^2 ( L + L_m)(C_1+C_2)\}} \sin \omega t }$

$\displaystyle{ + K \cos\frac{1}{\sqrt{(L+L_m)(C_1+C_2)}} t + K' \sin\frac{1}{\sqrt{(L+L_m)(C_1+C_2)}} t}$

$v_{cs}(0) = 0$ より $K = 0$ 一方 $I_{CVT}(t)=0$ より

$\displaystyle{ v_{cs} (t) = \frac{C_1 L V}{(C_1+C_2)L_m} \left\{ \omega\sqrt{(L+L_m)(C_1+C_2)} \sin \frac{1}{\sqrt{(L+L_m)(C_1+C_2)}}t -\sin \omega t \right\}}$

(6) $\sqrt{L(C_1+C_2)} = 1 / \omega$ なので過渡解は

$\displaystyle{ v_{cs}(t) = \frac{\omega C_1 L V}{\sqrt{C_1+C_2}} \sqrt{ \frac{L + L_m}{{L_m}^2}} \sin \left( \sqrt{ \frac{L}{L + L_m}} \omega\right)t }$