2018年電験1種　電力問3 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

受電端を基準として受電端から $x$ の点で考えると、相電圧 $\dot{V}(x,t)$ および電流 $\dot{I}(x,t)$ を求める分布定数回路の基礎方程式は以下で与えられる。

$\displaystyle{\frac{\partial \dot{V}}{\partial x} = R\dot{I} + L \frac{\partial \dot{I}}{\partial t}}$

$\displaystyle{\frac{\partial \dot{I}}{\partial x} = G \dot{V} + C \frac{\partial \dot{V}}{\partial t}}$

正弦波交流においては時間微分 $\displaystyle{\frac{\partial}{\partial t}}$ は $\sqrt{-1}\omega$ に置き換えることができる。

$\displaystyle{\frac{d \dot{V}}{dx} = (R + \sqrt{-1}\omega L) \dot{I} = \dot{z}\dot{I} }$

$\displaystyle{\frac{d \dot{I}}{dx} = (G + \sqrt{-1}\omega C) \dot{V} = \dot{y}\dot{V} }$

$\displaystyle{\frac{d^2 \dot{V}}{dx^2} = \dot{z} \frac{d \dot{I}}{dx} = \dot{z}\dot{y} \dot{V} }$

この微分方程式の一般解は

$\dot{V}=C_1 \exp(\dot{\gamma}x) + C_2 \exp(-\dot{\gamma}x)$

$\displaystyle{ \dot{I}= \frac{1}{\dot{z}}\frac{d \dot{V}}{dx}=\frac{1}{\dot{z}}(\dot{\gamma}C_1\exp(\dot{\gamma}x) - \dot{\gamma}C_2 \exp(-\dot{\gamma}x)) }$

$C_1, C_2$ は任意定数、 $\dot{\gamma}=\sqrt{\dot{z}\dot{y}}$ は伝搬定数である。

$x=0$ のときに $\dot{V}=\dot{E_r}, \dot{I}=\dot{I_r}$ となるので、

$\dot{E_r} = C_1 + C_2$

$\displaystyle{\dot{I_r} = \frac{1}{\dot{z}}(\dot{\gamma}C_1 - \dot{\gamma}C_2)}$

$\displaystyle{ C_1 = \frac{1}{2}\left( \dot{E_r} + \frac{\dot{z}}{\dot{\gamma}} \dot{I_r}\right), C_2 = \frac{1}{2}\left( \dot{E_r} - \frac{\dot{z}}{\dot{\gamma}}\dot{I_r} \right) }$

また、 $x=l$ のとき $\dot{V}=\dot{E_s}, \dot{I}=\dot{I_s}$

$\displaystyle{ \dot{E_s} = \frac{1}{2}\left( \dot{E_r} + \frac{\dot{z}}{\dot{\gamma}} \dot{I_r}\right) \exp(\dot{\gamma}l) + \frac{1}{2}\left(\dot{E_r} - \frac{\dot{z}}{\dot{\gamma}} \dot{I_r}\right) \exp(-\dot{\gamma}l) }$

$\displaystyle{ = \dot{E_r} \frac{ \exp(\dot{\gamma}l) + \exp(- \dot{\gamma}l)}{2} + \sqrt{\frac{\dot{z}}{\dot{y}}} \dot{I_r} \frac{ \exp(\dot{\gamma}l) - \exp(- \dot{\gamma}l)}{2} }$

$=\dot{E_r}\cosh (\dot{\gamma}l) + \dot{Z_W}\dot{I_r}\sinh(\dot{\gamma}l)$

$\displaystyle{ \dot{I_s} = \frac{\dot{\gamma}}{2\dot{z}}\left( \dot{E_r} + \frac{\dot{z}}{\dot{\gamma}} \dot{I_r}\right) \exp(\dot{\gamma}l) - \frac{\dot{\gamma}}{2\dot{z}}\left( \dot{E_r} - \frac{\dot{z}}{\dot{\gamma}} \dot{I_r}\right) \exp(-\dot{\gamma}l) }$

$\displaystyle{ = \sqrt{ \frac{\dot{y}}{\dot{z}}} \dot{E_r} \frac{ \exp(\dot{\gamma}l) - \exp(- \dot{\gamma}l)}{2} + \dot{I_r} \frac{ \exp(\dot{\gamma}l) + \exp(- \dot{\gamma}l)}{2} }$

$=\displaystyle{ \frac{\dot{E_r}}{\dot{Z_W}}\sinh (\dot{\gamma}l) +\dot{I_r}\cosh(\dot{\gamma}l) }$

\begin{equation}\begin{bmatrix} \dot{E_s} \\ \dot{I_s} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathrm{cos h}(\dot{\gamma}l) & \dot{Z_W}\mathrm{sin h}(\dot{\gamma}l) \\ \frac{1}{\dot{Z_W}}\mathrm{sin h} (\dot{\gamma}l) & \mathrm{cos h}(\dot{\gamma}l) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot{E_r} \\ \dot{I_r} \end{bmatrix}\end{equation}

より

$\dot{A}=\dot{D}=\cosh(\dot{\gamma}l)$

$\dot{B}=\dot{Z_W}\sinh(\dot{\gamma}l)$

$\displaystyle{\dot{C}= \frac{1}{\dot{Z_W}}\sinh (\dot{\gamma}l)}$

$\displaystyle{\dot{Z_W}=\sqrt{\frac{\dot{z}}{\dot{y}}}}$ は特性インピーダンスという。

(1)の解答は（ワ）

(2)の解答は（ロ）

(3)の解答は（ホ）

題意より $R=G=0$ なので $\displaystyle{\dot{Z_W}=\sqrt{\frac{L}{C}}, \dot{\gamma} = \omega\sqrt{-LC} }$

$\displaystyle{ \dot{E_s} =\dot{E_r} \left( \frac{\exp(\omega l \sqrt{-LC}) + \exp(\omega l \sqrt{-LC})}{2}\right) + \sqrt{\frac{L}{C}} \dot{I_r} \left( \frac{\exp(\omega l\sqrt{-LC}) - \exp(\omega l \sqrt{-LC})}{2}\right) }$