2018年電験1種 電力問3

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 受電端を基準として受電端からxの点で考えると、相電圧\dot{V}(x,t)および電流\dot{I}(x,t)を求める分布定数回路の基礎方程式は以下で与えられる。

\displaystyle{\frac{\partial \dot{V}}{\partial x} = R\dot{I} + L \frac{\partial \dot{I}}{\partial t}} 

\displaystyle{\frac{\partial \dot{I}}{\partial x} = G \dot{V} + C \frac{\partial \dot{V}}{\partial t}}

正弦波交流においては時間微分\displaystyle{\frac{\partial}{\partial t}}\sqrt{-1}\omegaに置き換えることができる。

\displaystyle{\frac{d \dot{V}}{dx} = (R + \sqrt{-1}\omega L) \dot{I} = \dot{z}\dot{I} }

 \displaystyle{\frac{d \dot{I}}{dx} = (G + \sqrt{-1}\omega C) \dot{V} = \dot{y}\dot{V} }

\displaystyle{\frac{d^2 \dot{V}}{dx^2} = \dot{z} \frac{d \dot{I}}{dx} = \dot{z}\dot{y} \dot{V} }

この微分方程式の一般解は

\dot{V}=C_1 \exp(\dot{\gamma}x) + C_2 \exp(-\dot{\gamma}x)

\displaystyle{ \dot{I}= \frac{1}{\dot{z}}\frac{d \dot{V}}{dx}=\frac{1}{\dot{z}}(\dot{\gamma}C_1\exp(\dot{\gamma}x) - \dot{\gamma}C_2 \exp(-\dot{\gamma}x)) }

 C_1, C_2は任意定数、\dot{\gamma}=\sqrt{\dot{z}\dot{y}}は伝搬定数である。

x=0のときに\dot{V}=\dot{E_r}, \dot{I}=\dot{I_r}となるので、

\dot{E_r} = C_1 + C_2

\displaystyle{\dot{I_r} = \frac{1}{\dot{z}}(\dot{\gamma}C_1 - \dot{\gamma}C_2)}

\displaystyle{ C_1 = \frac{1}{2}\left( \dot{E_r} + \frac{\dot{z}}{\dot{\gamma}} \dot{I_r}\right), C_2 = \frac{1}{2}\left( \dot{E_r} - \frac{\dot{z}}{\dot{\gamma}}\dot{I_r} \right) }

また、x=lのとき\dot{V}=\dot{E_s}, \dot{I}=\dot{I_s}

\displaystyle{ \dot{E_s} = \frac{1}{2}\left( \dot{E_r} + \frac{\dot{z}}{\dot{\gamma}} \dot{I_r}\right) \exp(\dot{\gamma}l) + \frac{1}{2}\left(\dot{E_r} - \frac{\dot{z}}{\dot{\gamma}} \dot{I_r}\right) \exp(-\dot{\gamma}l) }

\displaystyle{ = \dot{E_r} \frac{ \exp(\dot{\gamma}l) + \exp(- \dot{\gamma}l)}{2} + \sqrt{\frac{\dot{z}}{\dot{y}}} \dot{I_r} \frac{ \exp(\dot{\gamma}l) - \exp(- \dot{\gamma}l)}{2} }

=\dot{E_r}\cosh (\dot{\gamma}l) + \dot{Z_W}\dot{I_r}\sinh(\dot{\gamma}l)

\displaystyle{ \dot{I_s} = \frac{\dot{\gamma}}{2\dot{z}}\left( \dot{E_r} + \frac{\dot{z}}{\dot{\gamma}} \dot{I_r}\right) \exp(\dot{\gamma}l) - \frac{\dot{\gamma}}{2\dot{z}}\left( \dot{E_r} - \frac{\dot{z}}{\dot{\gamma}} \dot{I_r}\right) \exp(-\dot{\gamma}l) }

\displaystyle{ = \sqrt{ \frac{\dot{y}}{\dot{z}}} \dot{E_r} \frac{ \exp(\dot{\gamma}l) - \exp(- \dot{\gamma}l)}{2} + \dot{I_r} \frac{ \exp(\dot{\gamma}l) + \exp(- \dot{\gamma}l)}{2} }

=\displaystyle{ \frac{\dot{E_r}}{\dot{Z_W}}\sinh (\dot{\gamma}l) +\dot{I_r}\cosh(\dot{\gamma}l) }

\begin{equation}\begin{bmatrix} \dot{E_s} \\ \dot{I_s} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathrm{cos h}(\dot{\gamma}l) & \dot{Z_W}\mathrm{sin h}(\dot{\gamma}l) \\ \frac{1}{\dot{Z_W}}\mathrm{sin h} (\dot{\gamma}l) & \mathrm{cos h}(\dot{\gamma}l) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot{E_r} \\ \dot{I_r} \end{bmatrix}\end{equation}

より

 \dot{A}=\dot{D}=\cosh(\dot{\gamma}l)

\dot{B}=\dot{Z_W}\sinh(\dot{\gamma}l)

\displaystyle{\dot{C}= \frac{1}{\dot{Z_W}}\sinh (\dot{\gamma}l)}

\displaystyle{\dot{Z_W}=\sqrt{\frac{\dot{z}}{\dot{y}}}}特性インピーダンスという。

(1)の解答は(ワ)

(2)の解答は(ロ)

(3)の解答は(ホ)

 

題意よりR=G=0 なので\displaystyle{\dot{Z_W}=\sqrt{\frac{L}{C}}, \dot{\gamma} = \omega\sqrt{-LC} }

\displaystyle{ \dot{E_s} =\dot{E_r} \left( \frac{\exp(\omega l \sqrt{-LC}) + \exp(\omega l \sqrt{-LC})}{2}\right) + \sqrt{\frac{L}{C}} \dot{I_r} \left( \frac{\exp(\omega l\sqrt{-LC}) - \exp(\omega l \sqrt{-LC})}{2}\right)  }

\displaystyle{= E_r \cos(\omega l \sqrt{LC}) + \sqrt{-\frac{L}{C}} \dot{I_r} \sin(\omega l \sqrt{LC}) }

また、力率が1のためP_0 = E_r\cdot I_r

1相当たりの有効電力\displaystyle{P_0 = \frac{ {E_r}^2}{\sqrt{L/C}}}のため\displaystyle{I_r = \frac{E_r}{\sqrt{L/C}} }となる。

\dot{E_s}= \dot{E_r}\{\cos( \omega l \sqrt{LC})+\sqrt{-1} \sin(\omega l \sqrt{LC})\}

E_s = E_r \sqrt{\cos^2(\omega l \sqrt{LC}) + \sin^2(\omega l \sqrt{LC})} = E_r

(4)の解答は(ヨ)

 

有効電力が減少する場合は、E_s \lt E_rとなるので、受電端電圧は送電端電圧に対して上昇する。

(5)の解答は(ヲ)