ベクトルポテンシャルによる直線電流による静磁場

直線電流

間の定常電流の点に作るベクトルポテンシャルは

\begin{equation}
\pmb{A}(R) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi}\int_A^B \frac{d \pmb{s}}{r}
\end{equation}

 導線を軸にとり電流の方向を正に選ぶ。

このときは方向の成分のみを持つから、ベクトルポテンシャルも方向の成分だけを持っている。の座標を、の座標をとおく。

\begin{equation}
A_x(R) = A_y(R)=0
\end{equation}

\begin{equation}
A_z(R)=\frac{\mu_0 I}{4 \pi}\int_{-a}^b \frac{ds}{\sqrt{s^2 + R^2}} 
= \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \log \frac{\sqrt{b^2 + R^2} + b}{\sqrt{a^2 + R^2} -a}
\end{equation} 

円筒座標

円筒座標でベクトルポテンシャルを表す。

\begin{equation}
\pmb{A} = A_R(R,\varphi,z)\pmb{e}_R+A_\varphi(R,\varphi,z)\pmb{e}_\varphi+A_z(R,\varphi,z)\pmb{e}_z
\end{equation}

を囲む閉曲線をとしてストークスの定理を適用すると

\begin{equation}
\int_{\Delta S_z} \nabla \times \pmb{A} \cdot \pmb{e}_z dS 
= \int_{C_z} \pmb{A}\cdot d\pmb{x}
\end{equation}

左辺は

\begin{equation}
\int_{\Delta S_z} \nabla \times \pmb{A} \cdot \pmb{e}_z dS 
=\nabla \times \pmb{A} \cdot \pmb{e}_z R \Delta \varphi \Delta R
=(\nabla \times \pmb{A})_z R \Delta \varphi \Delta R
\end{equation}

右辺は

\begin{eqnarray}
\int_{C_z} \pmb{A}\cdot d\pmb{x} & = & A_R(R,\varphi,z)\Delta R + A_\varphi(R+\Delta R, \varphi,z)(R+\Delta R)\Delta \varphi \\
& & -A_\varphi(R,\varphi,z)R \Delta \varphi - A_R(R,\varphi+\Delta \varphi,z)\Delta R \\
& = & -\frac{\partial}{\partial \varphi} A_R(R,\varphi,z) \Delta \varphi \Delta R + \frac{\partial}{\partial R}(R A_\varphi (R,\varphi,z))\Delta R \Delta \varphi
\end{eqnarray}

\begin{equation}
\therefore (\nabla \times \pmb{A})_z = \frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial R}(R A_\varphi )-\frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial \varphi} A_R
\end{equation}

同様に

\begin{equation}
\int_{\Delta S_y} \nabla \times \pmb{A} \cdot \pmb{e}_R dS 
= \int_{C_y} \pmb{A}\cdot d\pmb{x}
\end{equation}

左辺は

\begin{equation}
\int_{\Delta S_y} \nabla \times \pmb{A} \cdot \pmb{e}_R dS 
=\nabla \times \pmb{A} \cdot \pmb{e}_R R \Delta \varphi \Delta z
=(\nabla \times \pmb{A})_R R \Delta \varphi \Delta z
\end{equation}

右辺は

\begin{eqnarray}
\int_{C_y} \pmb{A}\cdot d\pmb{x} & = & A_\varphi(R,\varphi,z)R \Delta \varphi - A_z(R, \varphi,z)(R,\varphi,z)\Delta z \\
& & - A_\varphi(R,\varphi,z+\Delta z)R \Delta \varphi + A_z(R,\varphi+\Delta \varphi,z)\Delta z \\
& = & -\frac{\partial}{\partial z} A_\varphi(R,\varphi,z) R \Delta z \Delta \varphi+ \frac{\partial}{\partial \varphi}(R A_z (R,\varphi,z))\Delta \varphi \Delta z
\end{eqnarray}

\begin{equation}
\therefore (\nabla \times \pmb{A})_R = \frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial \varphi}A_z-\frac{\partial}{\partial z} A_\varphi
\end{equation}

同様の計算で、

\begin{equation}
(\nabla \times \pmb{A})_\varphi = \frac{\partial}{\partial z} A_R -\frac{\partial}{\partial R} A_z
\end{equation}

かつ(のみの関数)であるから、

\begin{eqnarray}
B_R(R) & = & (\nabla \times \pmb{A})_R = \frac{1}{R}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi} -\frac{\partial A_\varphi}{\partial z}  =0 \\
B_\varphi (R) & = & (\nabla \times \pmb{A})_\varphi = \frac{\partial A_R}{\partial z} -\frac{\partial A_z}{\partial R} = - \frac{\partial A_z}{\partial R} (R) \\
B_z(R) & = &(\nabla \times \pmb{A})_z = \frac{1}{R}\frac{\partial (R A_\varphi)}{\partial R} -\frac{1}{R}\frac{\partial A_R}{\partial \varphi} = 0
\end{eqnarray}

いよいよを決定する。

\begin{eqnarray}
B_\varphi (R) & = &  - \frac{\partial A_z(R)}{\partial R} \\
& = & - \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \frac{\partial}{\partial R} \{ \log(\sqrt{R^2 + b^2} + b) - \log(\sqrt{R^2 + a^2} - a) \} \\
& = & - \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \left\{ \frac{1}{\sqrt{R^2+b^2} + b} \frac{R}{\sqrt{R^2+b^2}}-\frac{1}{\sqrt{R^2+a^2} - a} \frac{R}{\sqrt{R^2+a^2}} \right\}\\
& = & - \frac{\mu_0 I}{4 \pi}\left\{\frac{R}{\sqrt{R^2+b^2}} \frac{\sqrt{R^2+ b^2} - b}{R^2} -\frac{R}{\sqrt{R^2+a^2}} \frac{\sqrt{R^2+ a^2} + a}{R^2} \right\}\\
& = & - \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \left\{ \frac{b}{\sqrt{R^2+b^2}} - \frac{a}{\sqrt{R^2+a^2}} \right\}\\
& = & \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} ( \cos \theta_1 - \cos \theta_2)
\end{eqnarray}

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