状態方程式2

制御理論 機械制御 現代制御

伝達関数が

\displaystyle{G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_1 s^{n-1} + \cdots+b_{n-1} s + b_n}{s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s + a_n} }

で与えられる制御系の状態方程式モデルは、次のようにして求められる。

まず、次のような変数X(s)を定義する。

\displaystyle{X(s)=\frac{1}{s^n+a_1 s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s +a_n} U(s)}

上式の分母を払って逆Laplace変換すると

x^{(n)}(t) + a_1 x^{(n-1)}(t)+\cdots+a_{n-1}x'(t) + a_n x(t) = u(t)\tag{*1}

を得る。ここで、n個の状態変数を次のように定義する。

\begin{equation} \left. \begin{array}{l} x_1 (t)= x (t) \\ x_2(t)=x'(t) \\ \vdots \\ x_n(t)=x^{(n-1)} (t) \end{array} \right\} \tag{*2} \end{equation}

 \begin{equation} \left. \begin{array}{l} {x_1}'(t)= x_2 (t) \\ {x_2}'(t)=x_3(t) \\ \vdots \\ {x_n}'(t)=x_n (t) \end{array} \right\} \tag{*3} \end{equation}

また、(*1)から

{x_n}'(t) = - a_n x_1(t) - a_{n-1}x_2(t)- \cdots - a_1 x_n(t) + u(t)\tag{*4}

を得る。 (*3)(*4)をまとめてベクトルと行列を用いて表わすと、

\begin{equation} x'(t)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots& \vdots & \ddots & \vdots  \\  0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_n & -a_{n-1} & -a_{n-2} & \cdots - a_2 & -a_1 \end{bmatrix} \pmb{x}(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(t) \tag{*5}\end{equation}

ただし、

\begin{equation} \pmb{x}(t) = \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\x_n(t) \end{bmatrix} \end{equation}

次に

\displaystyle{G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_1 s^{n-1} + \cdots+b_{n-1} s + b_n}{s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s + a_n} }

\displaystyle{X(s)=\frac{1}{s^n+a_1 s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s +a_n} U(s)}

から

Y(s)=(b_1 s^{n-1} + \cdots +b_{n_1}s+b_n)X(s)

を得る。逆Laplace変換すると、

y(t)=b_1 x^{(n-1)}(t)+ \cdots + b_{n-1} x'(t)+b_n x(t) = b_n x_1(t) + \cdots b_1 x_n(t)

= [b_n,b_{n-1}, \ldots , b_1]\pmb{x}(t)\tag{*6}

を得る。これが出力方程式である。(*5)(*6)の形を可制御標準形という。

伝達関数G(s)から

\displaystyle{G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\pmb{c}^T (s \pmb{I} - \pmb{A})^{-1} \pmb{b}}

を満足するような( \pmb{A},\pmb{b},\pmb{c})を求める問題を現実問題、( \pmb{A},\pmb{b},\pmb{c})をG(s)の実現という。G(s)が

\displaystyle{G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_1 s^{n-1} + \cdots+b_{n-1} s + b_n}{s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s + a_n} }

 で与えられる場合

\begin{equation} A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots& \vdots & \ddots & \vdots \\  0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_n & -a_{n-1} & -a_{n-2} & \cdots - a_2 & -a_1 \end{bmatrix},  \pmb{b}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} , \pmb{c}=\begin{bmatrix} b_n \\ b_{n-1} \\ b_{n-2} \\ \vdots \\ b_1 \end{bmatrix} \end{equation}

はG(s)の実現である。一般に実現は1通りとは限らない。実際、(\pmb{A}^T,\pmb{c},\pmb{b})もまたG(s)の実現である。この(\pmb{A}^T,\pmb{c},\pmb{b})のような実現の形を可観測標準形という。可観測標準形の状態方程式モデルは

\begin{equation} x'(t)=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_n \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-2}\\ \vdots & \vdots& \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\  0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_1 \end{bmatrix} \pmb{x}(t) + \begin{bmatrix} b_n \\ b_{n-1} \\ b_{n-2} \\ \vdots  \\ b_1 \end{bmatrix} u(t)\end{equation}

y(t)=[ 0 , 0 , \cdots , 0 , 1] \pmb{x}(t)

となる。