2017年電験1種　理論問6 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

まず、二端子対回路のF行列を求める。

$V_1 = V_2 + Z I_2$

$I_1 = I_2$

\begin{equation} \begin{bmatrix} V_1 \\ I_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & Z \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_2 \\ I_2 \end{bmatrix} \end{equation}

$V_1 = V_2$

$I_1 = Y V_2 + I_2$

\begin{equation} \begin{bmatrix} V_1 \\ I_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ Y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_2 \\ I_2 \end{bmatrix} \end{equation}

したがって、基本となるF行列は

\begin{equation} F=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{6} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{3} & \frac{10}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{7}{6} \end{bmatrix} \end{equation}

\begin{equation} \begin{bmatrix} {V_0}' \\ {I_0}' \end{bmatrix} = F \begin{bmatrix} {V_1}' \\ {I_1}' \end{bmatrix} \end{equation}

\begin{equation} \begin{bmatrix} {V_1}' \\ {I_1}' \end{bmatrix} = F^{-1} \begin{bmatrix} {V_0}' \\ {I_0}' \end{bmatrix} = \frac{1}{\frac{4}{3}\frac{7}{6} - \frac{10}{3}\frac{1}{6}} \begin{bmatrix} \frac{7}{6} & - \frac{10}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{4}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {V_0}' \\ {I_0}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{7}{6} {V_0}' -\frac{10}{3} {I_0}' \\ -\frac{1}{6}{V_0}' + \frac{4}{3} {I_0}' \end{bmatrix} \end{equation}

$\displaystyle{ {V_1}' = \frac{7}{6} {V_0}' -\frac{10}{3} {I_0}' = \frac{7}{6} \alpha E -\frac{10}{3} \frac{\alpha E}{5} = \frac{1}{2} \alpha E }$

$\therefore \lambda=2$

(1)の解答（ヨ）

F行列 $F$ の固有値は

\begin{equation} \begin{vmatrix} \lambda - \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ - \frac{1}{6} & \lambda - \frac{7}{6} \end{vmatrix} = \left(\lambda - \frac{4}{3}\right)\left(\lambda - \frac{7}{6}\right) - \frac{10}{3}\frac{1}{6} = \lambda^2 -\left( \frac{4}{3} + \frac{7}{6} \right)\lambda + \frac{14}{9}-\frac{5}{9} \end{equation}

$= \displaystyle{ \lambda^2 - \frac{5}{2} \lambda + 1 = \left( \lambda - \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{25}{16} + 1 = \left( \lambda - \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{9}{16} = \left( \lambda - \frac{5}{4} - \frac{3}{4}\right)\left( \lambda - \frac{5}{4}+\frac{3}{4}\right) }$

$\displaystyle{=\left( \lambda - 2\right) \left( \lambda - \frac{1}{2} \right) }$

(2)の解答（ル）

図3の終端における $V_0,I_0$ と $R$ の間には $V_0 = R I_0$ が成り立つ

(3)の解答（ロ）

$R=0$ の場合

$\displaystyle{ V_2 = {V_2}' + {V_2}" = \lambda^{-2}\alpha E + \lambda^2 ( 1 - \alpha ) E = \frac{1}{4} \alpha E + 4 (1-\alpha)E = 0}$

$\displaystyle{ \therefore \alpha = \frac{16}{15} }$

(4)の解答（リ）

$\displaystyle{ I_0 = {I_0}' + {I_0}" = \frac{1}{5} \alpha E + \frac{(1 - \alpha)E}{4} = \left( \frac{\alpha}{5} - \frac{1-\alpha}{4} \right) E = \frac{9 \alpha - 5}{20} E = \frac{ 9 \times \frac{16}{15} - 5 }{20} E= \frac{23}{100} E }$

(5)の解答（ホ）

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