状態方程式1

古典制御理論ではシステムをモデル化する場合、入出力関係を表す伝達関数や周波数応答が使われてきたが、現代制御理論では、システムの内部変数にも注目した状態方程式と呼ばれる連立の1次微分方程式が基礎として用いられる。

f:id:mahou:20190705183836j:plain

 図の1次遅れのブロック線図は

f:id:mahou:20190705184502j:plain

 と変換でき、さらに時間領域へ変換すると積分器を使って表すことができる。

f:id:mahou:20190705190506j:plain

積分器の出力をx(t)とすれば、その入力値は微分\displaystyle{\frac{d}{dt} x(t)}なので、信号の流れにそってまとめれば、

\displaystyle{\frac{d}{dt}x(t) = - px(t) + b u(t)}

 の1次微分方程式を得る。

 

次のブロック線図は

f:id:mahou:20190705192201j:plain

 時間領域へ返還すると

f:id:mahou:20190705193457j:plain

\displaystyle{\frac{d}{dt}x_1(t) = -2x_3(t)+2u(r)}

\displaystyle{\frac{d}{dt}x_2(t)= x_1(t) - 3 x_2(t)}

\displaystyle{\frac{d}{dt}x_3(t)=3 x_2(t)-4x_3(t)} 

y(t)=x_2(t)

となる。行列を使うと

\begin{equation} \begin{bmatrix} \frac{d}{dt}x_1(t) \\ \frac{d}{dt}x_2(t) \\ \frac{d}{dt}x_3(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & -3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} u(t) \tag{*1} \end{equation}

\begin{equation} y(t) = (0,1,0)\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \tag{*2}\end{bmatrix} \end{equation}

とおける。ここで、u(t),y(t)はそれぞれ入力変数、出力変数であり、x_1(t),x_2(t),x_3(t)のような中間変数を状態変数という。また、(*1)を状態方程式、(*2)を出力方程式といい、時間域での線図を状態変数線図という。

一般に状態変数がx_1(t)\sim x_n(t)n個存在するシステムを(動的)次元がnのシステムといい、この場合状態方程式と出力方程式は

\begin{equation} \begin{bmatrix} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \\ \vdots \\ \dot{x}_n(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} u(t) \tag{*3}\end{equation}

\begin{equation} y(t) = (c_1,c_2,\ldots, c_n)\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \tag{*4}\end{bmatrix} \end{equation}

であ表すことができる。以下、これらをn\times n行列\pmb{A}、列ベクトル\pmb{x}(t),\pmb{b},\pmb{c}を用いて、

\dot{\pmb{x}}(t)= \pmb{A x}(t) + \pmb{b} u(t)

y(t)=\pmb{c}^T \pmb{x}(t)

\pmb{x}(0)=0としてこれらをLaplace変換すると、

s \pmb{X}(s) = \pmb{A X}(s) + \pmb{b}U(s)\tag{*5}

Y(s)=\pmb{c}^T \pmb{X}(s)\tag{*6}

(*5)より

(s\pmb{I} - \pmb{A}) \pmb{X}(s) = \pmb{b}U(s)

両辺に[tex:(s\pmb{I}-\pmb{A})^{-1}を乗ずると

\pmb{X}(s)=(s\pmb{I}-\pmb{A})^{-1}\pmb{b}U(s)

これを(*6)に代入すると

Y(s)=\pmb{c}^T (s\pmb{I}-\pmb{A})^{-1}\pmb{b}U(s)

これから伝達関数G(s)

\displaystyle{G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\pmb{c}^T (s\pmb{I}-\pmb{A})^{-1}\pmb{b}}