状態方程式1 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

古典制御理論ではシステムをモデル化する場合、入出力関係を表す伝達関数や周波数応答が使われてきたが、現代制御理論では、システムの内部変数にも注目した状態方程式と呼ばれる連立の1次微分方程式が基礎として用いられる。

図の1次遅れのブロック線図は

と変換でき、さらに時間領域へ変換すると積分器を使って表すことができる。

積分器の出力を $x(t)$ とすれば、その入力値は微分値 $\displaystyle{\frac{d}{dt} x(t)}$ なので、信号の流れにそってまとめれば、

$\displaystyle{\frac{d}{dt}x(t) = - px(t) + b u(t)}$

の1次微分方程式を得る。

次のブロック線図は

時間領域へ返還すると

$\displaystyle{\frac{d}{dt}x_1(t) = -2x_3(t)+2u(r)}$

$\displaystyle{\frac{d}{dt}x_2(t)= x_1(t) - 3 x_2(t)}$

$\displaystyle{\frac{d}{dt}x_3(t)=3 x_2(t)-4x_3(t)}$

$y(t)=x_2(t)$

となる。行列を使うと

\begin{equation} \begin{bmatrix} \frac{d}{dt}x_1(t) \\ \frac{d}{dt}x_2(t) \\ \frac{d}{dt}x_3(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & -3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} u(t) \tag{*1} \end{equation}

\begin{equation} y(t) = (0,1,0)\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \tag{*2}\end{bmatrix} \end{equation}

とおける。ここで、 $u(t),y(t)$ はそれぞれ入力変数、出力変数であり、 $x_1(t),x_2(t),x_3(t)$ のような中間変数を状態変数という。また、(*1)を状態方程式、(*2)を出力方程式といい、時間域での線図を状態変数線図という。

一般に状態変数が $x_1(t)\sim x_n(t)$ の $n$ 個存在するシステムを（動的）次元が $n$ のシステムといい、この場合状態方程式と出力方程式は

\begin{equation} \begin{bmatrix} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \\ \vdots \\ \dot{x}_n(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} u(t) \tag{*3}\end{equation}

\begin{equation} y(t) = (c_1,c_2,\ldots, c_n)\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \tag{*4}\end{bmatrix} \end{equation}

であ表すことができる。以下、これらを $n\times n$ 行列 $\pmb{A}$ 、列ベクトル $\pmb{x}(t),\pmb{b},\pmb{c}$ を用いて、