Y-Δ変換 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

Y結線の回路はT型回路に読み替えて、端子 $a$ からの電流を $I_1$ 、端子 $b$ からの電流を $I_2$ 、端子 $c$ から端子 $a$ への電圧を $V_1$ 、端子 $c$ から端子 $b$ への電圧を $V_2$ とする。

$V_1= I_1 Z_a +(I_1+I_2)Z_c = ( Z_a + Z_c) I_1 + Z_c I_2$

$V_2= I_2 Z_b +(I_1+ I_2) Z_c = Z_c I_1 + ( Z_b + Z_c) I_2$

\begin{equation} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Z_a + Z_c & Z_c \\ Z_c & Z_b + Z_c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} = Z \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} \tag{1} \end{equation}

$\Delta$ 結線の回路は $\pi$ 型回路に読み替えて $I_1,I_2,V_1,V_2$ も同様とする。

キルヒホッフの電流則に注目すると

$I_1 =Y_{ac} V_1 + Y_{ab}(V_1-V_2) = ( Y_{ac}+Y_{ab}) V_1 - Y_{ab} V_2$

$I_2 =Y_{bc} V_2 + Y_{ab}(V_2 -V_1) = - Y_{ab} V_1 + (Y_{bc}+Y_{ab}) V_2$

\begin{equation} \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Y_{ac} + Y_{ab} & - Y_{ab} \\ -Y_{ab} & Y_{bc} + Y_{ab} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = Y \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} \tag{2} \end{equation}

(1)(2)式より $Z^{-1}=Y$

\begin{equation} Z^{-1} = \frac{1}{(Z_a + Z_c) (Z_b +Z_c) - {Z_c}^2} \begin{bmatrix} Z_b + Z_c & - Z_c \\ -Z_c & Z_a + Z_c \end{bmatrix} \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a} \begin{bmatrix} Z_b + Z_c & - Z_c \\ -Z_c & Z_a + Z_c \end{bmatrix} \end{equation}

$\displaystyle{ Y_{ab}= \frac{1}{Z_{ab}}=\frac{Z_c}{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a}}$

$\displaystyle{ Z_{ab} = \frac{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a}{Z_c}}$

$\displaystyle{ Y_{ac}= \frac{1}{Z_{ac}}=\frac{Z_b}{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a}}$

$\displaystyle{Z_{ac}=\frac{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a}{Z_b}}$

$\displaystyle{ Y_{bc}= \frac{1}{Z_{bc}}=\frac{Z_a}{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a}}$

$\displaystyle{Z_{bc}=\frac{Z_a Z_b + Z_b Z_c + Z_c Z_a}{Z_a}}$

$Y^{-1} = Z$

\begin{equation} Y^{-1} = \frac{1}{(Y_{ac} + Y_{ab}) (Y_{bc} +Y_{ab}) - {Y_{ab}}^2} \begin{bmatrix} Y_{bc} + Y_{ab} & Y_{ab} \\ Y_{ab} & Y_{ac} + Y_{ab} \end{bmatrix} \end{equation}

\begin{equation} = \frac{1}{Y_{ab} Y_{bc} + Y_{bc} Y_{ac} + Y_{ac} Y_{ab}} \begin{bmatrix} Y_{bc} + Y_{ab} & Y_{ab} \\ Y_{ab} & Y_{ac} + Y_{ab} \end{bmatrix} \end{equation}

$\displaystyle{Z_c = \frac{ Y_{ab}}{Y_{ab} Y_{bc} + Y_{bc} Y_{ac} + Y_{ac} Y_{ab}}= \frac{ \frac{1}{Z_{ab}}}{\frac{1}{Z_{ab} Z_{bc}} + \frac{1}{Z_{bc} Z_{ac}} + \frac{1}{Z_{ac} Z_{ab}}} = \frac{Z_{bc}Z_{ac}}{ Z_{ab} + Z_{bc}+ Z_{ac}}}$

$\displaystyle{Z_a = \frac{ Y_{bc}}{Y_{ab} Y_{bc} + Y_{bc} Y_{ac} + Y_{ac} Y_{ab}}= \frac{ \frac{1}{Z_{bc}}}{\frac{1}{Z_{ab} Z_{bc}} + \frac{1}{Z_{bc} Z_{ac}} + \frac{1}{Z_{ac} Z_{ab}}} = \frac{Z_{ab}Z_{ac}}{ Z_{ab} + Z_{bc}+Z_{ac} }}$

$\displaystyle{Z_b = \frac{ Y_{ac}}{Y_{ab} Y_{bc} + Y_{bc} Y_{ac} + Y_{ac} Y_{ab}}= \frac{ \frac{1}{Z_{ac}}}{\frac{1}{Z_{ab} Z_{bc}} + \frac{1}{Z_{bc} Z_{ac}} + \frac{1}{Z_{ac} Z_{ab}}} = \frac{Z_{ab}Z_{bc}}{ Z_{ab} + Z_{bc}+Z_{ac} }}$

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