安定性6　代数的判別法4　Hurwitzの安定判別法 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

$D(s)=a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_0 =0$

に対して $n \times n$ 行列 $H_n$ を

\begin{equation} H_n = \begin{bmatrix} a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \cdots & 0 \\ a_n & a_{n-2} & a_{n-4} & \cdots & 0 \\ 0 & a_{n-1} & a_{n-3} & & \vdots \\ 0 & a_n & a_{n-2} & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & a_0 \end{bmatrix} \end{equation}

で定義する。この行列 $H_n$ はHurwitz行列と呼ぶ。 $H_n$ の各行が特性方程式の $a_j$ を一つおきにとったものとなっていること、および対角要素が $a_{n-1},a_{n-2},a_{n-3}, \ldots, a_0$ である。

\begin{equation} \Delta_1=a_{n-1},\Delta_2=\begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-3} \\ a_n & a_{n-2} \end{vmatrix} , \ldots , \Delta_n = \det H_n \end{equation}

とおいて、Hurwitz行列の $i\times i$ 主座小行列（左上隅の $i\times i$ 小行列）の行列式を $\Delta_i$ とする。

定理（Hurwitzの安定条件）

$a_n \gt 0$ のもとに特性方程式の根がすべて安定であるための必要十分条件は

$\Delta_i \gt 0, i=1,2,\ldots,n$

となることである。

補題

Hurwitzの判別法における $\Delta_i,i=1,2,\ldots,n$ とRouth数列の要素 $r_{i0},i=n,n-1,\ldots,0$ との間には

$\displaystyle{ r_{n0}=a_n,r_{(n-1)0}=\Delta_1, r_{(n-2)0}=\frac{\Delta_2}{\Delta_1}, r_{(n-3)0}=\frac{\Delta_3}{\Delta_2}, \ldots, r_{00}=\frac{\Delta_n}{\Delta_{n-1}}}$

または、これらの第2式以降に等価な

$\Delta_i=r_{(n-1)0}r_{(n-2)0}\cdots r_{(n-i)0},i=1,2,\ldots,n-1$

という関係が成立する。

補題の証明の概略

$\Delta_i=r_{(n-1)0}r_{(n-2)0}\cdots r_{(n-i)0},i=1,2,\ldots,n-1$

はHurwitz行列 $H_n$ を対角要素が $r_{(n-1)0},r_{(n-2)0},\ldots,r_{00}$ であるような上三角行列に変換できることを用いて証明できるのであるが、ここでは[n=4]の場合を例として手順を示す。

\begin{equation} H_4 = \begin{bmatrix} a_3 & a_1 & 0 & 0 \\ a_4 & a_2 & a_0 & 0 \\ 0 & a_3 & a_1 & 0 \\ 0 & a_4 & a_2 & a_0 \end{bmatrix} \end{equation}

\begin{equation} B_4^{[1]} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\alpha_4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\alpha_4 & 1 \end{bmatrix}, \alpha_4= \frac{a_4}{a_3} \end{equation}

\begin{equation} H_4^{[1]}=B_4^{[1]}H_4 = \begin{bmatrix} a_3 & a_1 & 0 & 0 \\ 0 & r_{20} & r_{21} & 0 \\ 0 & a_3 & a_1 & 0 \\ 0 & 0 & r_{20} & r_{21} \end{bmatrix}, r_{20}= a2-\frac{a_4 a_1}{a_3} , r_{21}=a_0 \end{equation}

\begin{equation} B_4^{[2]} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\alpha_3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \alpha_3= \frac{a_3}{r_{20}} \end{equation}

\begin{equation} B_4^{[3]} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\alpha_2 & 1 \end{bmatrix}, \alpha_2= \frac{r_{20}}{r_{10}},r_{10}=r_{21}-\frac{a_3 a_1}{r_{20}} \end{equation}

\begin{equation} H_4^{[3]}=B_4^{[3]}B_4^{[2]}B_4^{[1]}H_4 = \begin{bmatrix} a_3 & a_1 & 0 & 0 \\ 0 & r_{20} & r_{21} & 0 \\ 0 & 0 & r_{10} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r_{00} \end{bmatrix}, r_{00}= r_{21}=a_0 \end{equation}

が得られる。ここで $\det B_4^{[i]}=1,i+1,2,3$ なので、

$\det H_4=\det H_4^{[3]}= r_{30}r_{20}r_{10}r_{00}$

を得る。

$i=1,2,3$ についても上記演算の一部を行うことによって成立することが示される。

定理の証明

Routhの定理により、 $a_n \gt 0$ のもとに特性方程式の根がすべて安定根であるための必要十分条件は $r_{i0} \gt 0, i=n-1,n-2,\ldots,0$ となることである。補題を用いるとこれは $\Delta_i \gt 0, i=1,2,\ldots,n$ となることに等しい。よって定理は証明された。