簡単のため伝達関数が
で与えられる場合について考察する。を部分分数展開すると
ただし、
であり、
となる。ここで、
\begin{equation} \left. \begin{array}{l} X_1(s)=\frac{1}{s-p_1}U(s) \\ X_2(s)=\frac{1}{s-p_2}U(s) \\ X_3(s)=\frac{1}{(s-p_3)^3} U(s) \\ X_4(s)=\frac{1}{(s-p_3)^2}U(s) \\ X_5(s)=\frac{1}{s-p_3}U(s) \end{array} \right\} \end{equation}
とおくと、
であり、
\begin{equation} \left. \begin{array}{l} s X_1(s) = p_1 X_1(s)+U(s) \\ s X_2(s) = p_2 X_2(s) + U(s) \\ s X_3(s) =p_3 X_3(s) + X_4(s) \\ s X_4(s) = p_3 X_4(s) + X_5(s) \\ s X_5(s) = p_3 X_5(s) + U(s) \end{array} \right\} \tag{*1}\end{equation}
(*1)(*2)を逆Laplace変換すると
\begin{equation} \begin{array}{l} {x_1}'(t) = p_1 x_1(t)+u(t) \\ {x_2}'(t) = p_2 x_2(t)+u(t) \\ {x_3}'(t) = p_3 x_3(t)+x_4(t) \\ {x_4}'(t) = p_3 x_4(t)+x_5(t) \\ {x_5}'(t) = p_3 x_5(t)+u(t) \\ y(t)= c_1 x_1(t) + c_2 x_2(t) + c_{31} x_3(t) + c_{32} x_4(t) + c_{33} x_5(t) \end{array} \end{equation}
これから状態方程式が得られる。
\begin{equation} \pmb{x}'(t)= \begin{bmatrix} p_1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p_2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p_3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p_3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & p_3 \end{bmatrix} \pmb{x}(t) + \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(t) \end{equation}
このような形をジョルダン標準形という。特にの極が単極ばかりのときには、行列は対角行列となる。
|