状態方程式3 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

簡単のため伝達関数が

$\displaystyle{G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{N(s)}{(s-p_1)(s-p_2)(s-p_3)^3}}$

で与えられる場合について考察する。 $G(s)$ を部分分数展開すると

$\displaystyle{\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{c_1}{s-p_1}+\frac{c_2}{s-p_2}+\frac{c_{31}}{(s-p_3)^3}+\frac{c_{32}}{(s-p_3)^2}+\frac{c_{33}}{s-p_3}}$

ただし、

$\displaystyle{c_1 =\lim_{s\to p_1}[(s-p_1)G(s)]}$

$\displaystyle{c_2=\lim_{s\to p_2}[(s-p_2)G(s)]}$

$\displaystyle{c_{31}=\lim_{s\to p_3}[(s-p_3)^3 G(s)]}$

$\displaystyle{c_{32}=\lim_{s\to p_3}\left[\frac{d}{dt} \{(s-p_3)^3 G(s)\} \right]}$

$\displaystyle{c_{33}=\lim_{s\to p_3}\left[\frac{1}{2}\frac{d^2}{dt^2} \{(s-p_3)^3 G(s)\} \right]}$

であり、

$\displaystyle{Y(s)=\frac{c_1}{s-p_1}U(s) + \frac{c_2}{s-p_2}U(s) + \frac{c_{31}}{(s-p_3)^3}U(s) \\ +\frac{c_{32}}{(s-p_3)^2}U(s)+\frac{c_{33}}{s-p_3}U(s)}$

となる。ここで、

\begin{equation} \left. \begin{array}{l} X_1(s)=\frac{1}{s-p_1}U(s) \\ X_2(s)=\frac{1}{s-p_2}U(s) \\ X_3(s)=\frac{1}{(s-p_3)^3} U(s) \\ X_4(s)=\frac{1}{(s-p_3)^2}U(s) \\ X_5(s)=\frac{1}{s-p_3}U(s) \end{array} \right\} \end{equation}

とおくと、

$\displaystyle{X_4(s)=\frac{1}{s-p_3}X_5(s), X_3=\frac{1}{s-p_3}X_4(s)}$

であり、

\begin{equation} \left. \begin{array}{l} s X_1(s) = p_1 X_1(s)+U(s) \\ s X_2(s) = p_2 X_2(s) + U(s) \\ s X_3(s) =p_3 X_3(s) + X_4(s) \\ s X_4(s) = p_3 X_4(s) + X_5(s) \\ s X_5(s) = p_3 X_5(s) + U(s) \end{array} \right\} \tag{*1}\end{equation}

$Y(s)=c_1 X_1(s)+c_2 X_2(s)+c_{31} X_3(s) + c_{32} X_4(s) + c_{33} X_5(s)\tag{*2}$

(*1)(*2)を逆Laplace変換すると

\begin{equation} \begin{array}{l} {x_1}'(t) = p_1 x_1(t)+u(t) \\ {x_2}'(t) = p_2 x_2(t)+u(t) \\ {x_3}'(t) = p_3 x_3(t)+x_4(t) \\ {x_4}'(t) = p_3 x_4(t)+x_5(t) \\ {x_5}'(t) = p_3 x_5(t)+u(t) \\ y(t)= c_1 x_1(t) + c_2 x_2(t) + c_{31} x_3(t) + c_{32} x_4(t) + c_{33} x_5(t) \end{array} \end{equation}

これから状態方程式が得られる。

\begin{equation} \pmb{x}'(t)= \begin{bmatrix} p_1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p_2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p_3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p_3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & p_3 \end{bmatrix} \pmb{x}(t) + \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(t) \end{equation}

$y(t) = [c_1 , c_2, c_{31},c_{32},c_{33}]\pmb{x}(t)$