状態方程式4

制御理論 機械制御 現代制御

初期状態\pmb{x}(0)が与えられたときの状態方程式と伝達関数の関係

\begin{equation} \pmb{X}(s) = \mathcal{L} [ \pmb{x}(t) ] = \begin{bmatrix} X_1(s) \\ \vdots \\ X_n(s) \end{bmatrix}  \end{equation}

\begin{equation} \mathcal{L}[\pmb{x}'(t)] = \begin{bmatrix} s X_1(s) - x_1(0) \\ \vdots \\ s X_n(s)-x_n(0) \end{bmatrix} = s \pmb{X}(s) -\pmb{x}(0) \end{equation}

\pmb{x}'(t) = \pmb{Ax}(t)+\pmb{b}u(t)

はLaplace変換すると

s \pmb{X}(s) - \pmb{x}(0) = \pmb{A X}(s) + \pmb{b}U(s)

\pmb{X}(s)=(s \pmb{I} - A)^{-1} \pmb{x}(0) + (s \pmb{I} - A)^{-1} \pmb{b} U(s)

\pmb{x}(t)=\mathcal{L}^{-1}[(s \pmb{I} - A)^{-1} ] \pmb{x}(0) + \mathcal{L}^{-1} [ (s \pmb{I} - A)^{-1} \pmb{b} U(s) ] \tag{*1}

一方、

\pmb{x}'(t) = \pmb{Ax}(t)+\pmb{b}u(t)

において、u(t)=0の解は、

\pmb{x}(t)=\exp(\pmb{A}t)\pmb{x}(0)

となる。u(t) \ne 0のときの解を求めるため、

\pmb{x}(t)=\exp(\pmb{A}t)[ \pmb{x}(0) + \pmb{z}(t)]

とおいて解く。

\pmb{x}'(t)=\pmb{A} \exp(\pmb{A}t)[ \pmb{x}(0) + \pmb{z}(t)] +\exp(\pmb{A}t)\pmb{z}'(t)  \\ = \pmb{A} \exp(\pmb{A}t)[ \pmb{x}(0) + \pmb{z}(t)] + \pmb{b}u(t)

となり、\exp(\pmb{A}t)\pmb{z}'(t) =\pmb{b}u(t)を得る。

\pmb{z}'(t)=\exp(-\pmb{A}t)\pmb{b}u(t)

\displaystyle{\pmb{z}(t)=\int_0^t \exp(-\pmb{A}\tau)\pmb{b}u(\tau) d\tau}

\displaystyle{\pmb{x}(t)=\exp(\pmb{A}t) \left\{\pmb{x}(0) + \int_0^t \exp(-\pmb{A}\tau)\pmb{b}u(\tau) d\tau\right\}}

で与えられる。実際、

\displaystyle{\pmb{x}'(t)=\pmb{A} \exp(\pmb{A}t)\left\{ \pmb{x}(0) + \int_0^t\exp(-\pmb{A}\tau)\pmb{b}u(\tau)d\tau\right\}+\exp(\pmb{A}t)\exp(-\pmb{A}t)\pmb{b}u(t)}

\displaystyle{= \pmb{A} \exp(\pmb{A}t)\left\{\pmb{x}(0) + \int_0^t \exp(-\pmb{A}\tau)\pmb{b}u(\tau)d\tau \right\} + \pmb{b}u(t) = \pmb{Ax}(t)+\pmb{b}u(\tau)}

\displaystyle{\pmb{x}(t)=\exp(\pmb{A}t) \pmb{x}(0) + \int_0^t \exp(\pmb{A}(t -\tau))\pmb{b}u(\tau) d\tau} \tag{*2}

(*1)(*2)を比べてu(t)=0のときのことを考えると、

\mathcal{L}^{-1}[(s \pmb{I} - A)^{-1} ] =\exp(\pmb{A}t)であり、

\displaystyle{\mathcal{L}^{-1} [ (s \pmb{I} - A)^{-1} \pmb{b} U(s) ] = \int_0^t \exp(\pmb{A}(t-\tau))\pmb{b}u(\tau) d\tau}

出力は

\displaystyle{y(t)=\pmb{c}^T \pmb{x}(t) = \pmb{c}^T \exp(\pmb{A}t)\pmb{x}(0) + \int_0^t \pmb{c}^T \exp(\pmb{A}(t-\tau))\pmb{b}u(\tau)d\tau}