可制御性 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

定義

システムの状態を任意の初期状態 $\pmb{x}(0)$ から、任意の時刻 $t \gt 0$ において $\pmb{x}(t)=0$ とするような入力 $u(\tau), 0 \leq \tau \leq t$ が存在するとき、このシステムは可制御（controllable）という

定理

$\pmb{x}'(t)=\pmb{Ax}(t)+\pmb{b}u(t)$

のシステムが可制御であるための必要十分条件は

$\pmb{Q}=[ \pmb{b}, \pmb{Ab}, \ldots, \pmb{A}^{n-1}\pmb{b} ]$

が

$\mathrm{rank} \pmb{Q} = n$

となることである。

証明

（必要性）

$\displaystyle{\pmb{x}(t)=\exp(\pmb{A}t) \pmb{x}(0) + \int_0^t \exp(\pmb{A}(t-\tau))\pmb{b}u(\tau)d\tau}$

より、任意の[\pmb{x}(0)]に対して適当な入力 $u(\tau), 0\leq \tau \leq t$ が存在して、

$\displaystyle{\pmb{x}(t)=\exp(\pmb{A}t) \pmb{x}(0) + \int_0^t \exp(\pmb{A}(t-\tau))\pmb{b}u(\tau)d\tau}$

$\displaystyle{\exp(\pmb{A}t) \left[ \pmb{x}(0) + \int_0^t \exp(-\pmb{A}\tau)\pmb{b}u(\tau) d\tau\right]=0}$

$\exp(\pmb{A}t)$ は正則であるから、

$\displaystyle{\pmb{x}(0) + \int_0^t \exp(-\pmb{A}\tau)\pmb{b}u(\tau) d\tau=0}$

$\displaystyle{\pmb{x}(0)= - \int_0^t \exp(-\pmb{A}\tau)\pmb{b}u(\tau)d\tau}$

一方、

$\mathcal{L}^{-1}[(s \pmb{I} + \pmb{A})^{-1} ] =\exp(-\pmb{A}t)$

Cayley–Hamiltonの定理より、

$\displaystyle{ (s \pmb{I} + \pmb{A})^{-1} = \frac{(-1)^{n-1}}{\mathrm{det}(s \pmb{I} + \pmb{A})} (\pmb{A}^{n-1} + c_{n-1} \pmb{A}^{n-2} + \dots + c_1 \pmb{I})}$

ゆえに

$\displaystyle{\exp(-\pmb{A}t)=\sum_{i=0}^{n-1} \alpha_i(t) \pmb{A}^i}$

と書ける。したがって、

$\displaystyle{\pmb{x}(0)= - \int_0^t \exp(-\pmb{A}\tau)\pmb{b}u(\tau)d\tau =-\sum_{i=0}^{n-1}\left[ \pmb{A}^i\pmb{b}\int_0^t \alpha_i(\tau)u(\tau)d\tau\right]}$

$\displaystyle{u_i=-\int_0^t \alpha_i(\tau)u(\tau)d\tau}$

とおけば、

\begin{equation} \pmb{x}(0)= [ \pmb{b}, \pmb{Ab}, \ldots, \pmb{A}^{n-1}\pmb{b} ] \begin{bmatrix} u_0 \\ u_1 \\ \vdots \\ u_{n-1} \end{bmatrix} \tag{*1} \end{equation}

(*1)が任意の $\pmb{x}(0)$ に対して成立するためには、 $\pmb{Q}$ の列ベクトルは $n$ 個の1次独立なものがなければならない。したがって $\mathrm{rank}\pmb{Q}=n$ となる。

（十分性）

$\mathrm{rank}\pmb{Q}=n$ とする。

まず、次の $n\times n$ 行列が正則であるｔことを示す。

$\displaystyle{\pmb{W}=\int_0^t \exp(-\pmb{A}\tau)\pmb{b} \pmb{b}^T \exp(-\pmb{A}^T \tau) d\tau}$

任意の

$\displaystyle{\pmb{x}^T \pmb{W} \pmb{x} = \int_0^t \pmb{x}^T \exp(-\pmb{A}\tau) \pmb{b} \pmb{b}^T \exp(-\pmb{A}^T \tau) \pmb{x} d\tau = \int_0^t ( \pmb{x}^T \exp(-\pmb{A}\tau)\pmb{b})^2 d\tau \geq 0 }$

適当な $n$ 時限ベクトル $\pmb{x}$ が存在して、 $\pmb{x}^T \pmb{W} \pmb{x} =0$ になったとすると、

$\displaystyle{\pmb{x}^T \pmb{W} \pmb{x} = \int_0^t ( \pmb{x}^T \exp(-\pmb{A}\tau)\pmb{b})^2 d\tau = 0 }$

したがって、

$\pmb{x}^T \exp(-\pmb{A}\tau)\pmb{b}=0,0 \leq \tau \leq t$

を得る。 $\tau$ で微分して $\tau=0$ とおくことを繰り返して、

$\pmb{x}^T \pmb{A}^i \pmb{b} = 0, i=0,1,\ldots , n-1$

あるいは

$\pmb{x}^T[\pmb{b}, \pmb{Ab}, \dots, \pmb{A}^{n-1}\pmb{b}]=\pmb{x}^T \pmb{Q} = 0$

$\mathrm{rank}\pmb{Q}=n$ であるから、 $\pmb{x}=0$ である。ゆえに、 $\pmb{W}$ は正則である。次に、この $\pmb{W}$ を用いて

$u(\tau)=- \pmb{b}^T\exp(-\pmb{A}^T)\tau \pmb{W}^{-1}\pmb{x}(0), 0\leq \tau \leq t \tag{*2}$

とおき、

$\displaystyle{\pmb{x}(t)= \exp(\pmb{A}t)\pmb{x}(0)+ \int_0^t \exp(\pmb{A}(t-\tau))\pmb{b}u(\tau)d\tau}$

に代入すると

$\displaystyle{\pmb{x}(t)= \exp(\pmb{A}t)\pmb{x}(0)-\int_0^t \exp(\pmb{A}(t-\tau))\pmb{b}\pmb{b}^T \exp(-\pmb{A}^T \tau \pmb{W}^{-1} \pmb{x}(0) d\tau}$

$\displaystyle{=\exp(\pmb{A}t)\left[ \pmb{x}(0) - \left\{ \int_0^t \exp(-\pmb{A}\tau)\pmb{b}\pmb{b}^T\exp(-\pmb{A}^T\tau) d\tau\right\} \pmb{W}^{-1}\pmb{x}(0)\right] }$