可観測性

定義

出力y(t)を0\leq \tau \leq tの間観測することによって、時刻0における状態\pmb{x}(0)を求めることができるならば、このシステムは可観測である（observable）という。

 

定理

\pmb{x}'(t)=\pmb{Ax}(t)+\pmb{b}u(t)

y(t)=\pmb{c}^T \pmb{x}(t)

のシステムが可観測であるための必要十分条件は

\begin{equation} \pmb{R}=\begin{bmatrix} \pmb{c}^T \\ \pmb{c}^T A \\ \vdots \\ \pmb{c}^T \pmb{A}^{n-1} \end{bmatrix} \end{equation}

の\mathrm{rank}\pmb{R} = nとなることである。

 

証明

 \displaystyle{W_o = \int_0^t \exp(\pmb{A}^T \tau) \pmb{c} \pmb{c}^T\exp(\pmb{A}\tau) d\tau \geq 0}

を定義する。

まず、W_o \gt 0と可観測性の同値性を示す。

 

\displaystyle{y(t)= \pmb{c}^T \exp(\pmb{A}t)\pmb{x}(0)+ \int_0^t \pmb{c}^T \exp(\pmb{A}(t-\tau))\pmb{b}u(\tau)d\tau}

が成り立つので、

\displaystyle{z(t)= y(t) - \int_0^t \pmb{c}^T \exp(\pmb{A}(t-\tau))\pmb{b}u(\tau)d\tau = \pmb{c}^T \exp(\pmb{A}t)\pmb{x}(0)}

とおく。

 

W_o(t) =0 と仮定する。

すると、\exists \pmb{v} \ne 0 : \pmb{v}^T W_o(t) \pmb{v} = 0

\exists \pmb{v} \ne 0 :\forall \tau \leq t : \pmb{c}^T \exp(\pmb{A}\tau)\pmb{v}=0

\pmb{x}(0)=\pmb{v}\ne 0で、z(t)=0となって初期状態\pmb{x}(0)は一意的にならない。したがって、対偶をとって可観測ならW_o(t) \gt 0となる。

 

W_o(t) \gt 0と仮定する。

\displaystyle{ {W_o}^{-1}(t) \int_0^t \exp(\pmb{A}^T \tau) \pmb{c} z(\tau) d\tau \\=\left( \int_0^t \exp(\pmb{A}^T \tau)\pmb{c} \pmb{c}^T \exp(\pmb{A}\tau) d\tau \right)^{-1} \times \int_0^t \exp(\pmb{A}^T \tau)\pmb{c} \pmb{c}^T \exp(\pmb{A}\tau)\pmb{x}(0)d\tau \\=\pmb{x}(0)}

 

\displaystyle{\exp(\pmb{A}t)=\sum_{i=0}^{n-1} \alpha_i(t) \pmb{A}^i }

\displaystyle{\exp(\pmb{A}^T t)=\sum_{i=0}^{n-1} \alpha_i(t) (\pmb{A}^T)^i }

より、

\displaystyle{W_o(t) = \int_0^t \left( \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_i(t) (\pmb{A}^T)^i \pmb{c} \right) \left( \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_i(t) \pmb{c}^T \pmb{A}^i \right) d\tau \gt 0 \Leftrightarrow \mathrm{rank} R = n}