状態方程式における安定性1 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

定義

$\pmb{x}'(t)=\pmb{Ax}(t) + \pmb{b} u(t)$

において $u(t)=0,t\geq 0$ とするとき、任意の初期状態 $x(0)$ に対して

$\displaystyle{\lim_{t \to \infty} \pmb{x}(t)=0}$

となるとき、システムは漸近安定であるという。

定理

システムが漸近安定であるための必要十分条件は行列 $\pmb{A}$ の固有値の実部がすべて負となることである。

証明

（必要性）

$u(t)=0, t\geq 0$ とおくと

$\pmb{x}'(t)=\pmb{Ax}(t)$

$\pmb{A}$ の固有値を $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_\ell$ 、それに対応する固有ベクトルを $\pmb{x_1},\pmb{x_2},\ldots,\pmb{x_\ell}$ とする。

$\pmb{x}'(t)=\pmb{Ax}(t)$ の解は $\pmb{x}(t)=\exp(\pmb{A}t)\pmb{x}(0)$

$\lambda_k$ が実数のとき $\pmb{x}(0)=\pmb{x_k}$ とおくと、

$\displaystyle{\pmb{x}(t)= \exp(\pmb{A}t)\pmb{x}(0)=\sum_{i=0}^\infty \frac{A^i}{i!}t^i \pmb{x_k}=\sum_{i=0}^\infty \frac{{\lambda_k}^i}{i!}t^i \pmb{x_k}=\exp(\lambda_k t)\pmb{x_k} }$

システムが漸近安定なら任意の $\pmb{x}(0)$ に対して

$\displaystyle{\lim_{t\to \infty} \pmb{x}(t)=0}$

が成り立つのであるから、 $\displaystyle{ \lim_{t\to\infty} \exp(\lambda_k t)= 0}$ 、すなわち $\lambda \lt 1$ でなければならない。

$\lambda_k$ が複素数のときには、 $\lambda_k=\sigma+\sqrt{-1}\omega,\pmb{x_k}=\pmb{a}+\sqrt{b}$ とおく。 $\lambda_k$ に共役な固有値を $\lambda_j=\sigma - \sqrt{-1}\omega$ とすると、 $\pmb{x}_j=\pmb{a}-\sqrt{-1}\pmb{b}$ は、 $\lambda_j$ に対する固有ベクトルになっている。このとき、

$\displaystyle{\pmb{x}(0)=\frac{1}{2}[ \pmb{x_k} + \pmb{x_j}] = \pmb{a}}$

とおくと、 $\pmb{x}(t)$ は次のように書ける。

$\displaystyle{ \pmb{x}(t)=\exp(\pmb{A}t) \pmb{x}(0)= \frac{1}{2} [ \exp(\pmb{A}t) \pmb{x_k}+\exp(\pmb{A}t) \pmb{x_j} ] }$

$\displaystyle{= \frac{1}{2}[\exp(\lambda_k t) \pmb{x_k} + \exp(\pmb{A}t)\pmb{x_j}] \\ = \frac{1}{2} \exp(\sigma t) [ \exp(\sqrt{-1}\omega t)(\pmb{a}+\sqrt{-1}\pmb{b}) + \exp(-\sqrt{-1}\omega t)(\pmb{a}-\sqrt{-1}\pmb{b})]}$

$=\frac{1}{2}\exp(\sigma t)[(\cos \omega t+ \sqrt{-1}\sin \omega t)(\pmb{a}+\sqrt{-1}\pmb{b})+(\cos \omega t - \sqrt{-1}\sin \omega t)(\pmb{a}-\sqrt{-1}\pmb{b})]$

$\exp(\sigma t)[(\cos \omega t)\pmb{a} -(\sin \omega t)\pmb{b}]$

上式のカッコ内は $t\to \infty$ のとき収束しない。したがって、 $\displaystyle{\lim_{\sigma\to \infty} \exp(\sigma t) =0}$ 、すなわち $\lambda_k,\lambda_j$ の実部 $\sigma$ が[sigma \lt 0]を満足しなければならない。