定義
においてとする。適当な定数に対して
ならば、もう1つの定数が存在して
定理
システムがBIBO安定であるための必要十分条件は、そのシステムの伝達関数
の極がすべて負の実部をもつことである。BIBO安定性は先に述べた古典制御の安定性に等しい。
証明
(必要性)
システムがBIBO安定であると仮定する。
このシステムのインパルス応答をで表すことにする。
と書ける。また、入力に対する出力は
を
とする。ただし、
\begin{equation} \mathrm{sgn}\, x = \left\{ \begin{array}{rl} 1, & x \gt 0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x \lt 0 \end{array} \right. \end{equation}
明らかに、 である。
仮定により適当な正数に対してであるから
したがって、
となる。これから、の極はすべて左半平面にある。
(十分性)
の極がすべて左半平面にあれば
が成立する。は
の形の項の和であるから、適当な正数が存在して
が成り立つ。したがってならば
を得る。ゆえに定義よりBIBO安定である。
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