安定性9　Nyquistの安定判別法3 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

複素平面上に虚軸と原点を中心とした半径 $R$ が無限大の右半円からなる閉曲線 $C_s$ を考える（こちらは $s$ 平面と呼ぶ）。点 $s$ が閉曲線 $C_s$ 上を一周するとき、対応する $G(s)$ の値が複素平面上に描く閉曲線 $\Gamma$ を $G(s)$ のNyquist線図と呼び、こちらの複素平面は $G(s)$ 平面と呼ばれる。

$s$ が閉曲線 $C_s$ 上を時計方向に一周するときに、それに対応する $\Gamma$ 上の点が $-1+\sqrt{-1}0$ のまわりを時計方向に回る回数を $n_T$ とする。上の図では $n_T=2$ である。以上の準備のもとにNyquistの安定判別法は次の定理で与えられる。

定理（Nyquistの安定定理）

一巡伝達関数 $G(s)=G_1(s)G_2(s)$ はプロパーな有理関数であるとし、 $G(s)$ の不安定極の個数を（ $k$ 重極は $k$ 個と数えて） $n_{GU}$ とし、 $G(s)$ のNyquist線図が点 $-1+\sqrt{-1}0$ を時計方向に回る回数を $n_T$ とする。このとき、フィードバック系が安定であるための必要十分条件は $n_{GU}+n_T=0$ となることである。

一巡伝達関数 $G(s)$ の極 $p_i$ のいくつかが虚軸上にある場合の扱いについて述べよう。この場合には閉曲線 $C_s$ じょうの点 $s=p_i$ において $G(s)$ の値が無限大になり、このままでは回転数 $n_T$ を調べることができない。そこで閉曲線 $C_s$ を下図のように小さい半径 $r \gt 0$ の半円によって虚軸上の極を右手へ回避するように修正する。

この修正した閉曲線 $C_s$ に対しては閉曲線 $\Gamma$ が存在するので、これを求めた上で小半円の半径 $r$ を0に収束させた極限の閉曲線をこの場合のNyquist線図とする。

次に、一巡伝達関数 $G(s)$ のベクトル軌跡から容易にフィードバック系の安定性を判別できることを示しておこう。この場合 $G(s)$ が安定なので $n_{GU}=0$ となり、したがってフィードバック系が安定であるための条件はNyquist線図が点[-1+\sqrt{-1}0]を囲まないこと（ $n_T=0$ ）である。

図に示すように $\omega$ を0から $\infty$ に動かすときのベクトル軌跡が点 $-1+\sqrt{-1}0$ を左に見て原点に入っていけばフィードバック系は安定であり、点 $-1+\sqrt{-1}0$ を右に見れば不安定、点[-1+\sqrt{-1}0]を通過すれば安定限界にある。

一巡伝達関数 $G(s)$ が相殺できるような不安定な極と零点を持つ場合について述べよう。この場合相殺できる不安定極はフィードバック系 $G_F(s)$ の不安定極でもあるため、相殺前の不安定極の個数を $n_{GU}$ として用いなければならない。Nyquist線図自体は極零相殺の影響を受けないので $n_T$ については相殺後の $G(s)$ を用いて求めればよい。

定理の証明

フィードバック系の特性多項式を $F(s)=1+G(s)$ とし、点 $s$ が閉曲線 $C_s$ 上を動くときに $F(s)$ が複素平面（ $F(s)$ 平面）上に描く軌跡 $\Gamma_F$ を考える。このとき点 $s$ が $C_s$ を時計方向に一周するあいだに、対応する $\Gamma_F$ 上の点が $F(s)$ 平面の原点の周りを時計方向に $(n_{FU}-n_{GU})$ 回だけ回ることを示そう。これが示されれば、 $G(s)=F(s)-1$ の関係から $\Gamma_F$ を実軸に沿って $-1$ だけ平行移動したものがNyquist線図 $\Gamma$ そのものであるので、Nyquist線図が $G(s)$ 平面の点 $-1+\sqrt{-1}0$ の周りをまわる回数 $n_T=n_{FU}-n_{GU}$ で与えられることになる。

まず、一巡伝達関数 $G(s)$ の分母多項式を $D(s)$ 、分子多項式を $N(s)$ とすると、プロパー性の仮定より $D(s)$ の次数 $n$ と $N(s)$ の次数 $m$ は $n\geqq m$ を満たす。 $\displaystyle{\frac{N(s)}{G(s)}}$ より

$\displaystyle{F(s)=1+G(s)=\frac{D(s)+N(s)}{D(s)}= A_F\frac{(s-q_1)\cdots(s-q_n)}{(s-p_1)\cdots(s-p_n)}}\tag{*}$

と表すことができる。ただし、 $p_1,p_2,\ldots,p_n$ は一巡伝達関数 $G(s)$ の極であり、 $q_1,q_2,\ldots,q_n$ は特性方程式 $1+G(s)=0$ の根、すなわちフィードバック系の伝達関数 $\displaystyle{G_F(s)=\frac{G_1(s)}{1+G(s)}}$ の極である。 $A_F$ はゲインを表す定数である。簡単のため $p_i,q_i$ はすべて虚軸上には存在しないと仮定する。そして、 $(s-p_i),(s-q_i)$ を $s$ 平面上のベクトルとみて、その大きさと偏角で

$(s-p_i)=|s-p_i|\exp(\sqrt{-1}\angle (s-p_i)),(s-q_i)=|s-q_i|\exp(\sqrt{-1}\angle (s-q_i))$

と表す。すると、(*)より

$F(s)=|F(s)|\exp(\sqrt{-1}\angle F(s)$

$\displaystyle{= A_F\frac{|s-q_1|\cdots|s-q_n|}{|s-p_1|\cdots|s-p_n|} \exp\left\{\sqrt{-1}\left[ \sum_{i=1}^n \angle (s-q_i) - \sum_{i=1}^n \angle (s-p_i)\right] \right\}}$

$s$ が $C_s$ 上をA→B→…→Gと移動するときに、 $F(s)$ が $F(s)$ 平面上でどのように動くかを知るために、その大きさ $|F(s)|$ と偏角 $\angle F(s)$ の値がどのように変化するかを調べる。まず $|F(s)|$ であるが、 $p_i,q_i$ が虚軸上にないという仮定と、 $D(s)+N(s),D(s)$ に共通因子がないから $F(s)$ の分子、分母の次数は共に $n$ 次で $R\to \infty$ の極限で $|F(s)| \to |A_F| \ne 0$ であるから、 $F(s)$ 平面上の閉曲線 $\Gamma_F$ は原点を通らない。

他方、 $\angle F(s)$ については、 $p_i$ が $s$ 平面の左半面にある（ $p_i$ が $G(s)$ の安定極）ならば、上図(a)に示すように $\angle(s-p_i)$ は移動の途中では $\displaystyle{\pm\frac{\pi}{2}}$ の範囲内で増減するが、 $s$ がGまで戻ったときには、出発点Aにおける値に戻る。しかし、 $p_i$ が $s$ 平面の右半面にある（ $p_i$ が $G(s)$ の不安定極）ならば、(b)に示すように $\angle (s-p_i)$ は移動の結果 $-2\pi$ （時計方向に1回転）だけ変化する。 $\angle (s-q_i)$ についても同様に、 $q_i$ が $G_F(s)$ の不安定極のときのみ $-2\pi$ だけ変化する。したがって、 $G(s)$ の不安定極が $n_{GU}$ 個、 $G_F(s)$ の不安定極が $n_{FU}$ 個存在するときには、

$\displaystyle{ \angle F(s)= \left[ \sum_{i=1}^n \angle(s-q_i) - \sum_{i=1}^n \angle(s-p_i) \right] }$

は $(n_{GU}-n_{FU})\times 2\pi$ だけ変化する。ゆえに $s$ が $C_s$ 上を一周する間に $\Gamma_F$ 上の点 $F(s)$ は原点 $0+\sqrt{-1}0$ を時計方向に $n_T=(n_{FU}-n_{GU})$ 回だけ回転する。以上で定理の証明は完了した。

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