周波数応答

制御理論 機械制御

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 周波数応答とは線形定数係数回路に入力信号x_i(t)として正弦波入力

x_i(t)= X_i \sin \omega t

を印加し、十分時間が経ってからの出力信号x_0(t)を考えると、x_0(t)は同一角周波数\omegaをもつ正弦波であって、次のように表すことができる。

x_0(t)=X_0 \sin (\omega t + \phi)

このとき入出力信号の振幅比\displaystyle{\frac{X_0}{X_1}}および位相差\varphiは、回路構成と入力信号の角周波数\omegaによって決定される。

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 振幅比\displaystyle{\frac{X_0}{X_i}}、位相差\varphiをもつベクトルと考えることができ、このベクトルをFとする。

ベクトルFは複素平面上で表現すると、

\displaystyle{F = \frac{X_0}{X_i}\cos \phi + \sqrt{-1} \frac{X_0}{X_i}\sin \phi = \frac{X_0}{X_i}\exp(\sqrt{-1}\phi)}

 

【例題】微分要素の周波数応答を求めよ。

微分要素にx_i(t)=X_i \sin \omega tを印加すると、

\displaystyle{x_0(t)=\frac{d}{dt} (X_i \sin \omega t) = \omega X_i \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)}

したがって、微分要素の周波数応答は

ベクトルの大きさ\displaystyle{\frac{\omega X_i}{X_i}=\omega}

位相角\displaystyle{\frac{pi}{2}\mathrm{rad}}

F=\sqrt{-1}\omega

一方、微分要素の伝達関数がsであることを思い起こすと、sの代わりに\sqrt{-1}\omegaとおくことによっても得られることになる。