伝達関数をもつ系の周波数応答 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

単位インパルス応答 $f(t)$ をもつ系に正弦波入力 $A\exp(\sqrt{-1}\omega t)$ が印加されたときの出力信号 $x_0(t)$ は

$\displaystyle{x_0(t)= \int_0^t f(t-\tau) A\exp(\sqrt{-1}\omega t) d \tau = \int_0^t f(\tau) A\exp(\sqrt{-1}\omega (t-\tau)) d \tau }$

$\displaystyle{=A\exp(\sqrt{-1}\omega t)\int_0^t f(\tau) \exp(-\sqrt{-1}\omega \tau) d \tau }$

今、過渡現象が十分減衰した状態、 $t\to \infty$ を考えて、 $t\to \infty$ の $x_0(t)=x_{0s}$ とすると、

$\displaystyle{x_{0s}=A\exp(\sqrt{-1}\omega t)\int_0^\infty f(\tau) \exp(-\sqrt{-1}\omega \tau) d \tau =A\exp(\sqrt{-1}\omega t)F(j\omega)}$

$f(\tau)=0(\tau \lt 0)$ に注意すれば、 $\displaystyle{\int_0^\infty f(\tau) \exp(-\sqrt{-1}\omega \tau) d \tau}$ は $f(\tau)$ のFourier変換である。つまり、伝達関数 $F(s)$ をもつ系に、正弦波入力 $A\exp(\sqrt{-1}\omega t)$ が印加されたときの、出力信号の定常値 $x_{0s}$ は伝達関数 $F(s)$ の代わりに $f(\tau)$ のFourier変換 $F(\sqrt{-1}\omega)$ とおいて得られることがわかった。

以上の考え方を拡張して、入力が一般の時間関数 $x_i(t)$ の場合を考える。同様にインパルス応答 $f(t)$ をもつ要素に、 $x_i(t)$ が印加されたとき、出力信号 $x_0(t)$ を求めると

$\displaystyle{x_0(t)= \int_0^t f(\tau)x_i(t-\tau)d\tau}$

Fourier変換すると、

$\displaystyle{\int_0^\infty \exp(-\sqrt{-1}\omega t) x_0(t) dt = \int_0^\infty \exp(-\sqrt{-1}\omega t) \left\{\int_0^t f(\tau) x_i(t-\tau)d\tau\right\} dt}$

一方、

$\displaystyle{F(\sqrt{-1}\omega) X_i(\sqrt{-1}\omega)=\int_0^\infty f(u)\exp(-\sqrt{-1}\omega u) du \int_0^\infty x_i(v) \exp(-\sqrt{-1}\omega v)dv}$

$\displaystyle{=\int_0^\infty \int_0^\infty f(u)x_i(v) \exp(-\sqrt{-1}\omega(u+v))dudv}$

ここで、 $u,v$ の2変数を $u+v=t,v=x$ すなわち $u=t-x,v=x$ とおいて、 $t,x$ での重積分に変換する。

\begin{equation} J=\frac{\partial (u,v)}{\partial(t,x)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial t} & \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial t} & \frac{\partial v}{\partial x} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\end{equation}

積分領域は $u\geqq 0 , v \geqq 0$ から $t\geqq x, x\geqq 0$