ベクトル軌跡

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 周波数応答F(\sqrt{-1}\omega)複素平面上でベクトルとして表すことができた。\omegaの値を\omega_0,\omega_1,\omega_2,\cdotsと変化させていくと、これに対応してベクトルF(\sqrt{-1}\omega_0),F(\sqrt{-1}\omega_1),F(\sqrt{-1}\omega_2,\cdotsを図のように描くことができる。これらのベクトルのの先端を結ぶことによって得られる曲線をベクトル軌跡と呼ぶ。\omega0 \to \inftyまで増加させていくのにつれて軌跡の進む方向に矢印をつける。

(1)微分要素のベクトル軌跡

周波数応答は

F(\sqrt{-1}\omega)=\sqrt{-1}\omega

と表すことができた。したがってベクトル軌跡は

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 のように表すことができる。

(2)積分要素軌跡

周波数応答は

\displaystyle{F(\sqrt{-1}\omega)= \frac{1}{\sqrt{-1}\omega}= - \frac{\sqrt{-1}}{\omega}}

のように表すことができる。したがってベクトル軌跡は

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 のように表すことができる。

(3)1次遅れ要素軌跡

周波数応答は

\displaystyle{F(\sqrt{-1}\omega) = \frac{K}{1+\sqrt{-1}\omega T}=K \left\{ \frac{1}{1+(\omega T)^2} -\frac{\sqrt{-1}\omega T}{1+(\omega T)^2}\right\} }

したがってベクトルの大きさ

\displaystyle{|F(\sqrt{-1}\omega)| = K \times \sqrt{ \left(\frac{1}{1+(\omega T)^2}\right)^2 + \left( \frac{\omega T}{1+(\omega T)^2} \right)^2 } = \frac{K}{\sqrt{1 +(\omega T)^2}} } 

位相角

\angle F(\sqrt{-1}\omega) = - \tan^{-1} (\omega T)= \theta

\omega T = \tan (-\theta)\displaystyle{K \left\{ \frac{1}{1+(\omega T)^2} -\frac{\sqrt{-1}\omega T}{1+(\omega T)^2}\right\} }に代入すると

\displaystyle{=K \times\left\{\frac{1}{1+\tan^2(-\theta)} - \frac{\sqrt{-1} \tan(-\theta)}{1+\tan^2(-\theta)} \right\}}

\displaystyle{=K \times\left\{\frac{\cos^2(-\theta)}{\cos^2(-\theta)+\sin^2(-\theta)} - \frac{\sqrt{-1} \cos(-\theta)\sin(-\theta)}{\cos^2(-\theta)+\sin^2(-\theta)} \right\}}

\displaystyle{=K \times \left\{ \frac{\cos(2\theta)+1}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{2} \right\} }

つまり下図のようなベクトル軌跡となる。

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 (4)2次遅れ要素軌跡

周波数応答は

\displaystyle{F(\sqrt{-1}\omega) = \frac{K {\omega_n}^2}{1+ 2 \sqrt{-1} \zeta\omega + (\sqrt{-1}\omega)^2} }

\displaystyle{= \frac{K {\omega_n}^2}{1 - \omega^2 + 2 \sqrt{-1} \zeta\omega } = K {\omega_n}^2 \times \left\{ \frac{ 1 - \omega^2 }{( 1 - \omega^2)^2 + 4\zeta^2 \omega^2} - \frac{ 2 \sqrt{-1} \zeta\omega }{( 1 - \omega^2)^2 + 4\zeta^2 \omega^2}\right\} }

したがってベクトルの大きさ

\displaystyle{ |F(\sqrt{-1}\omega)| = K{\omega_n}^2 \times \sqrt{ \left(\frac{ 1 - \omega^2 }{( 1 - \omega^2)^2 + 4\zeta^2 \omega^2}\right)^2 + \left(\frac{ 2 \zeta\omega }{( 1 - \omega^2)^2 + 4\zeta^2 \omega^2} \right)^2 } }

\displaystyle{\frac{K{\omega_n}^2}{\sqrt{( 1 - \omega^2)^2 + 4\zeta^2 \omega^2}}}

位相角

\displaystyle{\angle F(\sqrt{-1}\omega) = - \tan^{-1} \frac{2\zeta\omega}{1-\omega^2}}

ベクトル軌跡は

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 のようになる。

(5)むだ時間要素軌跡

伝達関数\exp(-sL)で与えられるむだ時間要素の周波数応答は

F(\sqrt{-1}\omega L)=\cos \omega L - \sqrt{-1}\sin \omega L

となるので

|F(\sqrt{-1})|=1

\angle F(\sqrt{-1}\omega) = -\omega L [\mathrm{rad}]

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 というベクトル軌跡を描く。