ベクトル軌跡 - 数学・物理・電気主任技術者試験、技術士、情報処理技術者試験等お勉強の記録

周波数応答 $F(\sqrt{-1}\omega)$ は複素平面上でベクトルとして表すことができた。 $\omega$ の値を $\omega_0,\omega_1,\omega_2,\cdots$ と変化させていくと、これに対応してベクトル $F(\sqrt{-1}\omega_0),F(\sqrt{-1}\omega_1),F(\sqrt{-1}\omega_2,\cdots$ を図のように描くことができる。これらのベクトルのの先端を結ぶことによって得られる曲線をベクトル軌跡と呼ぶ。 $\omega$ を $0 \to \infty$ まで増加させていくのにつれて軌跡の進む方向に矢印をつける。

(1)微分要素のベクトル軌跡

周波数応答は

$F(\sqrt{-1}\omega)=\sqrt{-1}\omega$

と表すことができた。したがってベクトル軌跡は

のように表すことができる。

(2)積分要素軌跡

周波数応答は

$\displaystyle{F(\sqrt{-1}\omega)= \frac{1}{\sqrt{-1}\omega}= - \frac{\sqrt{-1}}{\omega}}$

のように表すことができる。したがってベクトル軌跡は

のように表すことができる。

(3)1次遅れ要素軌跡

周波数応答は

$\displaystyle{F(\sqrt{-1}\omega) = \frac{K}{1+\sqrt{-1}\omega T}=K \left\{ \frac{1}{1+(\omega T)^2} -\frac{\sqrt{-1}\omega T}{1+(\omega T)^2}\right\} }$

したがってベクトルの大きさ

$\displaystyle{|F(\sqrt{-1}\omega)| = K \times \sqrt{ \left(\frac{1}{1+(\omega T)^2}\right)^2 + \left( \frac{\omega T}{1+(\omega T)^2} \right)^2 } = \frac{K}{\sqrt{1 +(\omega T)^2}} }$

位相角

$\angle F(\sqrt{-1}\omega) = - \tan^{-1} (\omega T)= \theta$

$\omega T = \tan (-\theta)$ を $\displaystyle{K \left\{ \frac{1}{1+(\omega T)^2} -\frac{\sqrt{-1}\omega T}{1+(\omega T)^2}\right\} }$ に代入すると

$\displaystyle{=K \times\left\{\frac{1}{1+\tan^2(-\theta)} - \frac{\sqrt{-1} \tan(-\theta)}{1+\tan^2(-\theta)} \right\}}$

$\displaystyle{=K \times\left\{\frac{\cos^2(-\theta)}{\cos^2(-\theta)+\sin^2(-\theta)} - \frac{\sqrt{-1} \cos(-\theta)\sin(-\theta)}{\cos^2(-\theta)+\sin^2(-\theta)} \right\}}$

$\displaystyle{=K \times \left\{ \frac{\cos(2\theta)+1}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{2} \right\} }$

つまり下図のようなベクトル軌跡となる。

(4)2次遅れ要素軌跡

周波数応答は

$\displaystyle{F(\sqrt{-1}\omega) = \frac{K {\omega_n}^2}{1+ 2 \sqrt{-1} \zeta\omega + (\sqrt{-1}\omega)^2} }$

$\displaystyle{= \frac{K {\omega_n}^2}{1 - \omega^2 + 2 \sqrt{-1} \zeta\omega } = K {\omega_n}^2 \times \left\{ \frac{ 1 - \omega^2 }{( 1 - \omega^2)^2 + 4\zeta^2 \omega^2} - \frac{ 2 \sqrt{-1} \zeta\omega }{( 1 - \omega^2)^2 + 4\zeta^2 \omega^2}\right\} }$

したがってベクトルの大きさ

$\displaystyle{ |F(\sqrt{-1}\omega)| = K{\omega_n}^2 \times \sqrt{ \left(\frac{ 1 - \omega^2 }{( 1 - \omega^2)^2 + 4\zeta^2 \omega^2}\right)^2 + \left(\frac{ 2 \zeta\omega }{( 1 - \omega^2)^2 + 4\zeta^2 \omega^2} \right)^2 } }$