ボード線図 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

ボード線図はベクトル $F(\sqrt{-1}\omega)$ についてその大きさ $|F(\sqrt{-1}\omega)|$ と $\omega$ との関係を1本の曲線で表しさらに、位相角 $\angle F(\sqrt{-1}\omega)$ と $\omega$ との関係をもう1本の曲線で表現する方法を用いている。

大きさ $|F(\sqrt{-1}\omega)|$ に関しては

$g=20 \log_{10} |F(\sqrt{-1})| [\mathrm{dB}]$

を横軸 $\omega$ に対数表示をとった半対数方眼紙上に描く。この曲線をボード線図上のゲイン特性曲線と呼んでいる。

位相角に関しては $\phi = \angle F(\sqrt{-1}\omega)$ とおき、同様に $\omega$ を横軸に対数表示をとった半対数方眼紙上に $\phi$ の値を描いていく。

$\phi$ の値の単位は度を用いて表す。

(1)微分要素のボード線図

周波数応答 $F(\sqrt{-1}\omega)=\sqrt{-1}\omega$ であるため、ゲイン

$g= 20 \log |\sqrt{-1} \omega|= 20 \log \omega$

となり、また位相特性曲線は $\phi=90^\circ$ となるので、

となることがわかる。ゲイン特性曲線は $\omega$ が10倍増加するごとに $\mathrm{20dB}$ ずつ増加していく直線である。この直線の傾きは $\mathrm{20 dB/decade}$ と呼ばれている。

(2)積分要素のボード線図

周波数応答は $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{-1}\omega}}$ で与えられるので

$\displaystyle{g=20 \log \left| \frac{1}{\sqrt{-1}\omega}\right| = 20 \log \left(\frac{1}{\omega}\right) = -20 \log \omega }$

$\phi= - 90^\circ$

微分要素と積分要素のボード線図は $\omega$ 軸に対して対称となる。

(3)1次遅れ要素のボード線図

伝達関数 $\displaystyle{\frac{K}{1+sT}}$ で表される1次遅れ要素について、 $K=1$ とした場合のボード線図について考察する。

$\displaystyle{ g= 20 \log \left| \frac{1}{\sqrt{1+(\omega T)^2}} \right| = -20 \log \sqrt{1+\omega^2 T^2} }$

$\omega T \ll 1$ のとき[g \Doteq -20 \log \sqrt{1} = 0]

$\omega T \gg 1$ のとき[g \Doteq -20 \log \sqrt{\omega^2 T^2} = -20 \log T - 20 \log \omega]

ゲイン曲線は破線である、近似的に $\omega T \leq 1$ の区間で $g=0$ 、 $\omega T \geq 1$ の区間では $g= -20 \log T -20 \log \omega$ で近似する2本の直線が得られ、これを実線で示す。ゲイン特性曲線をこのような折線で近似したとき、誤差の最大値は $\displaystyle{\omega=\frac{1}{T}}$ のときであって、その値は $3.01\mathrm{dB}$ となる。また $\displaystyle{\omega=\frac{1}{T}}$ である時、この角周波数 $\omega$ を折点角周波数と呼んでいる。

位相特性曲線は $\phi = - \tan^{-1} \omega T$ によって表され、

破線が位相特性曲線であり、この特性曲線を近似する折線は実線のように描くことができる。この折線は $\displaystyle{\omega \leq \frac{1}{5T}}$ で $0^\circ$ 、 $\displaystyle{\omega \geq \frac{5}{T}}$ で $-90^\circ$ 、 $\displaystyle{\frac{1}{5T} \leq \omega \leq \frac{5}{T}}$ では $0^\circ$ と $-90^\circ$ を直線で結んでいる。この線は $\displaystyle{\omega=\frac{1}{T}}$ のときの位相角 $\phi=-45^\circ$ の点で接線を引くことによって求めたものである。

(4)2次遅れ要素ボード線図

伝達関数が $\displaystyle{\frac{K{\omega_n}^2}{s^2+ 2 \zeta \omega_n s +{\omega_n}^2}}$ であ表される2次遅れ要素について考える。 $K=1$ とする。

周波数応答は

$\displaystyle{F(\sqrt{-1}\omega) = \frac{1}{{omega_n}^2-\omega^2 + 2\sqrt{-1}\zeta \omega_n}}$

と表すことができる。ボード線図を表すと

これらの図が得られる。 $\zeta$ の値に応じて、ゲイン特性曲線、位相特性曲線が変化することがわかる。特に、ゲイン特性曲線に注目すると、 $\zeta$ がある一定の値以下のとき極地を生じることがわかる。極地を示す点を共振点といい、このときのゲイン特性曲線の値を共振値と呼び通常 $M_p$ で表現する。またこのときの角周波数を共振角周波数といい $\omega_p$ で表す。ゲイン特性が $-3\mathrm{dB}$ になるときの角周波数を遮断角周波数と呼び $\omega_b$ で表す。