安定性1　システムの極に基づく安定性 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

【定義S1】（システムの極に基づく定義）プロパーな有理伝達関数 $G(s)$ を持つシステムにおいて、そのシステムのすべての極の実部が負であるとき、このシステムは安定であるという。実部が負である極を安定極、実部が負である零点を安定零点と呼び、実部が正である極を不安定極、実部が正である零点を不安定零点と呼ぶ。

以下、極の実部が負であれば周波数応答が測定できることを示す。簡単のため $G(s)$ の極はすべて単極であると仮定する。

$\displaystyle{G(s)=\frac{b_m(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)} , m \leq n}$

システムに振幅 $X_i$ 角周波数 $\omega$ の正弦波入力

$u(t)=X_i \sin( \omega t)$

を加えた場合の出力を求める。Laplace変換を加えると

$\displaystyle{U(s)= X_i \frac{\omega^2}{s^2+\omega^2}}$

出力のラプラス変換は

$\displaystyle{Y(s)=G(s)U(s)= X_i\left( \frac{\alpha}{s-\sqrt{-1}\omega}+\frac{\overline{\alpha}}{s+\sqrt{-1}\omega} + \frac{\beta_1}{s-p_1}+ \cdots +\frac{\beta_n}{s-p_n} \right)}$

と部分分数展開できる。 $\alpha,\overline{\alpha}$ は、

$\displaystyle{\alpha= \lim_{s \to \sqrt{-1}\omega} G(s)\frac{\omega}{s+\sqrt{-1}\omega} = \frac{1}{2\sqrt{-1}}G(\sqrt{-1}\omega), \overline{\alpha}= - \frac{1}{2\sqrt{-1}}G(-\sqrt{-1}\omega)}$

で与えられる。正弦波入力に対する出力は逆Laplace変換することにより、

$y(t)=X_i(\alpha \exp(\sqrt{-1}\omega t) + \overline{\alpha} \exp(-\sqrt{-1}\omega t)+\beta_1 \exp(p_1 t)+\cdots+\beta_n \exp(p_n t)$

となる。全ての極の実部が負であることから、出力式の右辺第3項以下は時間が経過するにつれて減衰し、時間が十分経過した後の定常状態では最初の2項のみが残る。よって定常状態における出力を $y_s(t)$ とする。 $\displaystyle{G(s)=\frac{N(s)}{D(s)},N(s),D(s)}$ は多項式とすれば、 $N(s),D(s)$ は実多項式であるから、

$\displaystyle{\overline{G(s)}=\frac{\overline{N(s)}}{\overline{D(s)}}=\frac{N(\overline{s})}{D(\overline{s})}=G(\overline{s})}$

したがって、 $\overline{G(\sqrt{-1}\omega)}=G(-\sqrt{-1}\omega)$

$y_s(t)=X_i\{\alpha \exp(\sqrt{-1}\omega t) + \overline{\alpha} \exp(-\sqrt{-1}\omega t) \}$

$= X_i \{ \alpha(\cos \omega t + \sqrt{-1}\sin \omega t) + \overline{\alpha}(\cos \omega t - \sqrt{-1}\sin \omega t) \}$

$=X_i \{ (\alpha + \overline{\alpha})\cos \omega t + (\alpha - \overline{\alpha}) \sin \omega t\}$

$\displaystyle{= X_i\left\{ \frac{G(\sqrt{-1}\omega) - \overline{G(\sqrt{-1}\omega)}}{2\sqrt{-1}} \cos \omega t + \frac{G(\sqrt{-1}\omega) + \overline{G(\sqrt{-1}\omega)}}{2} \sin \omega t \right\} }$