伝達関数　微分方程式とLaplace変換、ブロック線図

制御理論 機械制御 Laplace変換・逆変換

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 図の回路で入力電圧はu(t)、出力電圧はy(t)とすると、コンデンサの電荷q(t)= Cy(t)だから\displaystyle{ i(t)=C \frac{dy}{dt}}であり、LRC回路の微分方程式は、

\displaystyle{ L \frac{di}{dt} + R i + y = LC \frac{d^2 y}{dt} + RC \frac{dy}{dt} + y = u}

が成り立つ。 Laplace変換をすると、

LC \{s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)\} + RC \{ s Y(s) - y(0)\} + Y(s) = U(s)

(LCs^2+RCs +1)Y(s) = sy(0)(LC+RC)+y'(0)LC + U(s)

\displaystyle{ Y(s) = \frac{sy(0)(LC+RC)+y'(0)LC}{LCs^2+RCs +1}+\frac{U(s)}{LCs^2+RCs +1} }

初期値が全て零のときには

\displaystyle{ Y(s) = \frac{U(s)}{LCs^2+RCs +1} }

となり、入出力の関係は

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 図のブロック線図で表される。

 

したがって、ブロック線図はシステムの初期値をすべて零と考えたときのLaplace変換域での入出力の比を示している。これを確かめてみよう。

 

まず、\displaystyle{ C y = q = \int_0^t i dt}これをLaplace変換すると、

\displaystyle{ C Y(s) = \frac{1}{s} I(s) }

I(s)=CsY(s)

\displaystyle{u-y= R i + L \frac{di}{dt}}をLaplace変換して、\displaystyle{U(s) - Y(s) = R I(s) + L s I(s) =RCs Y(s) + LCs^2 Y(s)}

\displaystyle{Y(s)= \frac{U(s)}{LCs^2+ RCs + 1}}