2017年電験1種 機械制御問1

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 (1)三相誘導機のL形等価回路は以下の図である。

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 a.励磁回路および機械損を無視した時の二次電流{I_2}'を、一時電圧V_1および各インピーダンスを用いて表せば、

 \displaystyle{ {I_2}'= \frac{V_1}{\sqrt{ \left( r_1 + \frac{{r_2}'}{s} \right)^2 + (x_1 + {x_2}')^2 }} }

トルクTは二次入力を使って、

 \displaystyle{ T = \frac{P_2}{\omega_s} = 3 {I_2}'^2 \cdot \frac{{r_2}'}{s} \cdot \frac{1}{\omega} = \frac{ 3 {V_1}^2 }{ \left( r_1 + \frac{{r_2}'}{s} \right)^2 + (x_1 + {x_2}')^2 } \cdot \frac{{r_2}'}{s} \cdot \frac{1}{\omega} }

\displaystyle{ = \frac{ 3 {V_1}^2 {r_2}' }{ s \omega_s \left( r_1 + \frac{{r_2}'}{s} \right)^2 + s \omega_s ( x_1 + {x_2}')^2 } }

トルクが最大になるためには上式の分母が最小になるようにsを選べばよい。このとき、分母をs微分したものが0になる。

\displaystyle{ \frac{d}{ds} \left\{ s \omega_s \left( r_1 + \frac{{r_2}'}{s} \right)^2 + s \omega_s ( x_1 + {x_2}')^2 \right\} = 0 }

\displaystyle{ \omega_s \left\{ \left( r_1 + \frac{{r_2}'}{s_m} \right)^2 + 2 s_m \left( r_1 + \frac{{r_2}'}{s_m} \right) \left( - \frac{{r_2}'}{{s_m}^2} \right) + ( x_1 + x_2')^2 \right\}=0 }

\displaystyle{ {r_1}^2 + 2 \frac{r_1{r_2}'}{s_m} + \left( \frac{{r_2}'}{s_m} \right)^2 -\frac{2 r_1 {r_2}'}{s_m} - \frac{2 {r_2}'^2}{{s_m}^2} + (x_1 + {x_1}')^2 = 0 }

\displaystyle{ {r_1}^2 - \frac{{r_2}'^2}{{s_m}^2}+ (x_1 + {x_1}')^2 = 0 }

\displaystyle{\therefore s_m = \frac{{r_2}'}{\sqrt{ {r_1}^2 + (x_1 + {x_2}')^2}} }

 

b.

\displaystyle{ T_\mathrm{max} = \frac{ 3 {V_1}^2 {r_2}' }{ s_m \omega_s \left( r_1 + \frac{{r_2}'}{s_m} \right)^2 + s_m \omega_s ( x_1 + {x_2}')^2 } }

\displaystyle{ = \frac{ 3 {V_1}^2 {r_2}' }{ \frac{{r_2}'}{\sqrt{ {r_1}^2 + (x_1 + {x_2}')^2}} \omega_s \left( r_1 + \frac{{r_2}'}{\frac{{r_2}'}{\sqrt{ {r_1}^2 + (x_1 + {x_2}')^2}}} \right)^2 + \frac{{r_2}'}{\sqrt{ {r_1}^2 + (x_1 + {x_2}')^2}} \omega_s ( x_1 + {x_2}')^2 } }

\displaystyle{= \frac{\sqrt{ {r_1}^2 + (x_1 + {x_2}')^2}}{{r_2}'\omega_s} \times \frac{ 3{V_1}^2{r_2}'}{ \{r_1 + \sqrt{ {r_1}^2 + (x_1+{x_2}')^2}\}^2 + (x_1+{x_2}')^2} }

\displaystyle{= \frac{\sqrt{ {r_1}^2 + (x_1 + {x_2}')^2}}{\omega_s} \times \frac{ 3 {V_1}^2}{ 2 {r_1}^2 + 2 r_1 \sqrt{ {r_1}^2 + (x_1+{x_2}')^2} + 2(x_1+{x_2}')^2} }

\displaystyle{ = \frac{ 3 {V_1}^2}{2 \omega_s \{ r_1 + \sqrt{ {r_1}^2 + (x_1+{x_2}')^2} \}} }

 

(2)

c. r_1を無視すると、

\displaystyle{ \lim_{r_1 \to 0} s_m = \lim_{r_1 \to 0} \frac{{r_2}'}{\sqrt{ {r_1}^2 + (x_1 + {x_2}')^2}} = \frac{{r_2}'}{x_1+{x_2}'} }

\displaystyle{ \lim_{r_1 \to 0} T_\mathrm{max} = \lim_{r_1 \to 0} \frac{ 3 {V_1}^2}{2 \omega_s \{ r_1 + \sqrt{ {r_1}^2 + (x_1+{x_2}')^2} \}} = \frac{ 3 {V_1}^2}{2 \omega_s (x_1+{x_2}') } }

\displaystyle{ \lim_{r_1 \to 0} T = \lim_{r_1 \to 0} \frac{ 3 {V_1}^2 {r_2}' }{ s \omega_s \left( r_1 + \frac{{r_2}'}{s} \right)^2 + s \omega_s ( x_1 + {x_2}')^2 } = \frac{ 3 {V_1}^2 {r_2}' }{ s \omega_s \left( \frac{{r_2}'}{s} \right)^2 + s \omega_s ( x_1 + {x_2}')^2 } }

その比率は

\displaystyle{ \frac{T_\mathrm{max}}{T} = \frac{ \frac{ 3 {V_1}^2}{2 \omega_s (x_1+{x_2}') }}{\frac{ 3 {V_1}^2 {r_2}' }{ s \omega_s \left( \frac{{r_2}'}{s} \right)^2 + s \omega_s ( x_1 + {x_2}')^2 }} = \frac{ \frac{1}{2  (x_1+{x_2}') }}{\frac{{r_2}' }{ s  \left( \frac{{r_2}'}{s} \right)^2 + s \omega_s ( x_1 + {x_2}')^2 }} = \frac{ \frac{{r_2}'^2}{s} + s \omega_s ( x_1 + {x_2}')^2}{2 {r_2}'(x_1+{x_2}')} }

\displaystyle{ = \frac{{r_2}'}{2s (x_1+{x_2}')} + \frac{s(x_1+{x_2}')}{2{r_2}'} = \frac{s_m}{2s} + \frac{s}{2s_m} = \frac{{s_m}^2 + s^2}{2s_m s} }

 

d.

\displaystyle{ \lim_{r_1 \to 0} s_m =  \frac{{r_2}'}{x_1+{x_2}'} = \frac{0.144}{0.356+0.356} \Doteq 0.20225}

\displaystyle{ \frac{{s_m}^2+ s^2}{2 s_m s} = 2}

 s^2 - 4 s_m s + {s_m}^2=( s - 2 s_m)^2 - 4 {s_m}^2+{s_m}^2 = ( s - 2 s_m -\sqrt{3}{s_m} )( s - 2 s_m +\sqrt{3}{s_m} )=0

 s=(s \pm \sqrt{3})s_m \Doteq ( 2 \pm \sqrt{3}) \times 0.20225 \Doteq 0.755,0.05419

ここで s \gt s_m の範囲では安定運転ができないので、0.75は不適である。

 \therefore s = 0.05419 = 5.42\%

 

電気機械工学改訂版 [ 電気学会 ]