フィードバック制御系の過渡特性 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

フィードバック制御系の過渡特性は、解析を容易にするために、インパルス入力、ステップ入力を加えたときの、過渡状態の応答から考えていく。

一次遅れ要素のインパルス応答 $g(t)$ は

$\displaystyle{g(t)=\mathcal{L}^{-1}[G(s)]=\frac{K}{T}\exp\left(-\frac{t}{T}\right)}$

である。

次に、フィードバック制御系の目標値 $r(t)$ が高さ $h=1$ のステップ関数とする。制御量の応答は $c(t)$ とする。

$\displaystyle{R(s)=\frac{1}{s}}$

$\displaystyle{ C(s)= \frac{G(s)}{1+ G(s)H(s)}\times \frac{1}{s}}$

この応答を単位ステップ応答または、インディシャル応答というのであった。

伝達関数 $\displaystyle{\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}}$ は次のように分類できる。

(1)1次遅れ伝達関数となる場合

(2)2次遅れ伝達関数となる場合

(3)それ以外の伝達関数となる場合。例えば、分母が $s$ に関して3時以上となる場合。

一方、外乱と制御量との伝達関数

$\displaystyle{\frac{L(s)}{1+G(s)H(s)}}$

に関しても同様に分類することができる。以後上記(1)～(3)までの分類に従って、各々の場合につき、その過渡特性を検討していく。

(1)1次遅れ伝達関数で表される制御系の過渡特性

1次遅れ伝達関数は $\displaystyle{\frac{K}{1+sT}}$ であ表すことができる。子の系に単位ステップ入力が印加されると、制御量の応答 $c(t)$ は

$\displaystyle{c(t)= \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{K}{s(sT+1)}\right\}=\left\{ 1 - \exp\left(-\frac{1}{T}\right) \right\}}$

$c(t)$ を図示する。この図において

（イ）1次遅れ系の入力ステップ印加時より $T$ 秒後（ $T$ は時定数）において、最終値の63.2％に達する。

（ロ） $t=0$ で接戦を引き、その接戦をそのまま延長すると、 $T$ 秒後に最終値に一致する。

(2)2次遅れ系の過渡特性

(i) $0 \leqq \zeta \lt 1$ の場合

まず、インパルス応答を求める。

$\displaystyle{ \frac{K}{1+ 2\zeta \left(\frac{s}{\omega_n}\right) + \left(\frac{s}{\omega_n}\right)^2 } = \frac{K {\omega_n}^2 }{s^2 + 2 \zeta \omega_n s +{\omega_n}^2} = \frac{K {\omega_n}^2}{(s+ \zeta \omega_n)^2+{\omega_n}^2( 1 -\zeta^2)}}$

$\displaystyle{=\frac{K {\omega_n}^2}{\{(s+ \zeta \omega_n)-\sqrt{-1}{\omega_n}\sqrt{ 1 -\zeta^2}\} \{(s+ \zeta \omega_n)+\sqrt{-1}{\omega_n}\sqrt{ 1 -\zeta^2}\}} }$

$\displaystyle{=K\left\{ \frac{k_1}{(s+ \omega_n(\zeta-\sqrt{-1}\sqrt{ 1 -\zeta^2})} +\frac{k_2}{(s+ \omega_n(\zeta +\sqrt{-1}\sqrt{ 1 -\zeta^2})} \right\} }$

$\displaystyle{ \left.k_1 = \frac{{\omega_n}^2 }{s^2 + 2 \zeta \omega_n s +{\omega_n}^2} \times (s+ \omega_n\left(\zeta -\sqrt{-1}\sqrt{ 1 -\zeta^2}\right)\right|_{s=- \omega_n (\zeta -\sqrt{-1}\sqrt{ 1 -\zeta^2})}}$

$\displaystyle{=\left.\frac{{\omega_n}^2}{(s+ \omega_n(\zeta +\sqrt{-1}\sqrt{ 1 -\zeta^2})}\right|_{s=- \omega_n (\zeta -\sqrt{-1}\sqrt{ 1 -\zeta^2})}}$

$\displaystyle{= \frac{\omega_n}{2 \sqrt{-1}\sqrt{1-\zeta^2}}}$

$\displaystyle{k_2 =\left.\frac{{\omega_n}^2}{(s+ \omega_n(\zeta -\sqrt{-1}\sqrt{ 1 -\zeta^2})}\right|_{s=- \omega_n (\zeta +\sqrt{-1}\sqrt{ 1 -\zeta^2})}}$

$\displaystyle{= - \frac{\omega_n}{2 \sqrt{-1}\sqrt{1-\zeta^2}}}$

$\displaystyle{ G(s) = K \frac{\omega_n}{2 \sqrt{-1}\sqrt{1-\zeta^2}} \left\{ \frac{1}{(s+ \omega_n(\zeta-\sqrt{-1}\sqrt{ 1 -\zeta^2})} - \frac{1}{(s+ \omega_n(\zeta +\sqrt{-1}\sqrt{ 1 -\zeta^2})} \right\}}$

$g(s)=\displaystyle{\mathcal{L}^{-1}[G(s)]=K \frac{\omega_n}{2 \sqrt{-1}\sqrt{1-\zeta^2}} \{ \exp( - \omega_n(\zeta-\sqrt{-1}\sqrt{ 1 -\zeta^2})t) - \exp( -\omega_n(\zeta +\sqrt{-1}\sqrt{ 1 -\zeta^2})t) }$

$\displaystyle{= \frac{ K\omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}} \exp( - \zeta\omega_n t)\sin(\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} t) }$

$\zeta=0$ の場合には、振動が減衰せず、 $\zeta$ が大きいほど減衰が速くなるので、 $\zeta$ を減衰係数という。また、減衰がないときの振動の各周波数は $\omega_n$ で与えられ、自然角周波数と呼ばれる。減衰振動のときの角周波数は $\omega= \omega_n \sqrt{1- \zeta^2}$ で与えられ、減衰振動の角周波数と呼ばれる。

次にインディシャル応答を求める。

$\displaystyle{\frac{1}{s}G(s) = \frac{1}{s}\frac{K {\omega_n}^2 }{s^2 + 2 \zeta \omega_n s +{\omega_n}^2} = K \left( \frac{1}{s} - \frac{s+2\zeta \omega_n}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + {\omega_n}^2}\right)}$

$\displaystyle{=K \left\{ \frac{1}{s} - \frac{d_1 (s+\zeta \omega_n)+ d_2\left(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} \right)}{(s+\omega_n)^2+(\omega_n \sqrt{1-\zeta^2})^2}\right\} }$

$\displaystyle{=K \left\{ \frac{1}{s} - \frac{ (s+\zeta \omega_n)+ \frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\left(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} \right)}{(s+\omega_n)^2+(\omega_n \sqrt{1-\zeta^2})^2}\right\} }$

インディシャル応答

$\displaystyle{y_s(t)=\mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{1}{s} G(s) \right]}$

$\displaystyle{=K\left[ 1 - \exp(-\zeta \omega_n t)\left\{\cos(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}t) + \frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}t)\right\}\right]}$

$\displaystyle{= K\left[ 1 - \frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}\exp(-\zeta \omega_n t)\left\{\sqrt{1-\zeta^2} \cos(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}t) + \zeta \sin(\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}t)\right\}\right]}$

$\displaystyle{=K\left[ 1 - \frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}\exp(-\zeta \omega_n t)\left\{\sin(\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}t+\varphi)\right\}\right]}$

$\displaystyle{\zeta=\cos \varphi, \sqrt{1-\zeta^2}=\sin \varphi, \phi = \tan^{-1} \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} }$

インパルス応答と同様に $\zeta$ が大きくなると減衰が速くなる。

(ii) $\zeta=1$ の場合

$\displaystyle{G(s)=\frac{K {\omega_n}^2}{(s+\omega_n)^2}}$

インパルス応答は

$\displaystyle{g(t)= \mathcal{L}^{-1}[G(s)]=K {\omega_n}^2 t \exp(-\omega_n t)}$

インディシャル応答は

$\displaystyle{\frac{1}{s}G(s)= \frac{1}{s}\frac{K {\omega_n}^2}{(s+\omega_n)^2} =K \left( \frac{k_1}{s} + \frac{k_2}{(s+\omega_n)} + \frac{k_3}{(s+\omega_n)^2}\right) }$

$\displaystyle{=K \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{(s+\omega_n)} - \frac{\omega_n}{(s+\omega_n)^2}\right) }$

$\displaystyle{y_s(t)= \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}G(s)\right]= K [ 1 - \exp(-\omega_n t)(1+\omega_n t)]}$

(iii) $\zeta \gt 1$ の場合

$\displaystyle{G(s)= K\left\{ \frac{k_1}{(s+ \omega_n(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}))} +\frac{k_2}{(s+ \omega_n(\zeta +\sqrt{\zeta^2-1}))} \right\} }$

$\displaystyle{= \frac{K\omega_n}{2 \sqrt{\zeta^2-1}}\left\{ \frac{1}{(s+ \omega_n(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}))} -\frac{1}{(s+ \omega_n(\zeta +\sqrt{\zeta^2-1}))} \right\} }$

インパルス応答は

$\displaystyle{g(t)=\mathcal{L}^{-1}[G(s)] = \frac{K\omega_n}{2 \sqrt{\zeta^2-1}}\left\{ \exp\left(-\omega_n\left(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}\right)\right) - \exp\left(-\omega_n\left(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1}\right)\right)\right\}}$

インディシャル応答

$\displaystyle{G(s)= K\left\{\frac{1}{s} - \frac{k_1}{(s+ \omega_n(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})} -\frac{k_2}{(s+ \omega_n(\zeta +\sqrt{\zeta^2-1})} \right\} }$

$\displaystyle{k_1=\frac{\sqrt{\zeta^2-1} + \zeta}{2\sqrt{\zeta^2-1}}}$

$\displaystyle{k_2=\frac{\sqrt{\zeta^2-1} - \zeta}{2\sqrt{\zeta^2-1}}}$

インディシャル応答は

$\displaystyle{y_s(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s} G(s)\right]}$

$\displaystyle{= K \left[ 1 - \frac{\zeta+\sqrt{\zeta^2-1}}{2\sqrt{\zeta^2-1}} \exp( - \omega_n (\zeta -\sqrt{\zeta^2-1})t) + \frac{\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}}{2\sqrt{\zeta^2-1}} \exp( - \omega_n (\zeta +\sqrt{\zeta^2-1})t) \right]}$