フィードバック制御系の定常特性

制御理論 機械制御

フィードバック制御系において、制御偏差E(s)の値は

\displaystyle{E(s)=\frac{1}{1+G(s)H(s)}\times R(s) - \frac{H(s)L(s)}{1+G(s)H(s)}\times D(s)}

ここで外乱D(s)=0の場合を考える。

\displaystyle{E(s)=\frac{1}{1+G(s)H(s)}\times R(s) }

Laplace変換における最終値定理からe(\infty)の値は

\displaystyle{e(\infty) = \lim_{s \to 0} s E(s) = \lim_{s \to 0} \frac{s R(s)}{1+G(s)H(s)}}

によって求めることができる。

 

(1)ステップ入力印加時

r(t)として高さhのステップ入力が印加されたときを考える。

\displaystyle{R(s)=\frac{h}{s}}

とおけばよいから

\displaystyle{e(\infty) = \lim_{s \to 0} \frac{h}{1+G(s)H(s)}=\frac{h}{1+G(0)H(0)}}

\displaystyle{ G(s) = \frac{K \exp(-sL)\prod_{j=1}^m ( s T_j + 1)}{s^\ell \left\{ 1+ 2 \zeta \left( \frac{s}{\omega_n} \right) + \left(\frac{s}{\omega_n}\right)^2\right\} \prod_{i=1}^k(s T_i + 1)} }

かつH(s)=1の場合を考えると

\displaystyle{ G(s)H(s) = \frac{K \exp(-sL)\prod_{j=1}^m ( s T_j + 1)}{s^\ell \left\{ 1+ 2 \zeta \left( \frac{s}{\omega_n} \right) + \left(\frac{s}{\omega_n}\right)^2\right\} \prod_{i=1}^k(s T_i + 1)} }

となり、G(0)H(0)の値は

(a)\ell=0のとき　G(0)H(0)=K

(b)\ell=1のとき　G(0)H(0)=\infty

(c)\ell=2のとき　G(0)H(0)=\infty

 \vdots

となる。したがって、

(a)0形系のとき　\displaystyle{e(\infty)=\frac{h}{1+K}}

(b)1形系のとき　e(\infty)=0

(c)2形系のとき　e(\infty)=0

 \vdots

すなわち、1形系以上の制御系の場合、定常偏差は完全に零となることがわかった。

 

(2)定速度入力（ランプ入力）印加時

r(t)としてvtのランプ入力が印加されたときを考える。

\displaystyle{R(s)=\frac{v}{s^2}}

とおけばよいから

\displaystyle{e(\infty) = \lim_{s \to 0} \frac{v}{s+sG(s)H(s)}=\lim_{s \to 0} \frac{v}{sG(s)H(s)}}

G(s)H(s)として(1)と同様に

\displaystyle{ G(s)H(s) = \frac{K \exp(-sL)\prod_{j=1}^m ( s T_j + 1)}{s^\ell \left\{ 1+ 2 \zeta \left( \frac{s}{\omega_n} \right) + \left(\frac{s}{\omega_n}\right)^2\right\} \prod_{i=1}^k(s T_i + 1)} }

とすると、

(a)\ell=0のとき　\lim_{s \to 0} sG(s)H(s)=0

(b)\ell=1のとき　\lim_{s \to 0}sG(s)H(s)=K

(c)\ell=2のとき　\lim_{s \to 0}sG(s)H(s)=\infty

 \vdots

となる。したがって、

(a)0形系のとき　e(\infty)=\infty

(b)1形系のとき　\displaystyle{e(\infty)=\frac{v}{K}}

(c)2形系のとき　e(\infty)=0

 \vdots

すなわち、ランプ入力が印加された時の定常特性は、0形系では入力に追従できず、1形系では一定の誤差\displaystyle{\frac{v}{K}}をともなって追従し、2形系以上の系では誤差が零で完全に追従していくことが可能となる。

 

(3)定加速度入力印加時

r(t)として\displaystyle{\frac{at^2}{2}}のランプ入力が印加されたときを考える。

\displaystyle{R(s)=\frac{a}{s^3}}

とおけばよいから

\displaystyle{e(\infty) = \lim_{s \to 0} \frac{a}{s^2+s^2G(s)H(s)}=\lim_{s \to 0} \frac{a}{s^2G(s)H(s)}}

G(s)H(s)は同様とすると、

(a)\ell=0のとき　\lim_{s \to 0} s^2G(s)H(s)=0

(b)\ell=1のとき　\lim_{s \to 0} s^2G(s)H(s)=0

(c)\ell=2のとき　\lim_{s \to 0} s^2G(s)H(s)=K

(d)\ell\geq 3のとき　\lim_{s \to 0} s^2G(s)H(s)=\infty

 

 \vdots

となる。したがって、

(a)0形系のとき　e(\infty)=\infty

(b)1形系のとき　e(\infty)=\infty

(b)2形系のとき　\displaystyle{e(\infty)=\frac{a}{K}}

(c)3形系以上のとき　e(\infty)=0

 \vdots

 

となる。


 

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