Laplace変換・逆変換　合成積とLaplace変換

Laplace変換・逆変換 電験 理論

区間[0, \infty)で定義された二つの関数f(x),g(x)に対して

\displaystyle{ f(t)*g(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau) d\tau }

をf(t),g(t)の合成積という。

合成積の性質

f(t)*g(t)=g(t)*f(t)\tag{交換法則}

\displaystyle{f(t)*g(t)= \int_0^t  f(\tau)g(t-\tau) d\tau }について、tを定数として

u=t-\tauとおくと、\tau:0\to tのとき[u:t\to 0]、またdu = - d\tau

\displaystyle{f(t)*g(t)= \int_0^t  f(\tau)g(t-\tau) d\tau = \int_t^0 f(t-u)g(u) (-1)du}

\displaystyle{= \int_0^t f(t-u)g(u) du = g(t)*f(t)}

 

合成積のLaplace変換

\mathcal{L}\left[ f(t)*g(t)  \right]=F(s)G(s)を示す。

 

\displaystyle{ F(s)G(s)= \int_0^\infty f(u)\exp(-su)du \int_0^\infty g(v)\exp(-sv)dv }

\displaystyle{= \int_0^\infty \int_0^\infty f(u)g(v) \exp\{-s(u+v)\} du dv }

ここで、u+v=t,v=xすなわち、u=t-x,v=xとおいてt,xでの重積分に置き換える。

\begin{equation} J=\frac{\partial(u,v)}{\partial(t,x)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial t} & \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial t} & \frac{\partial v}{\partial x} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \end{equation}

また、u,vの積分領域はu \geqq 0 , v \geqq 0より u = t -x \geqq 0, v=x \geqq 0、つまり x \geqq 0 , t \geqq x

\displaystyle{ F(s)G(s)= \int_0^\infty \int_0^t f(t-x) g(x) \exp(-st) |J| dx dt }

\displaystyle{ = \int_0^\infty \left\{ \int_0^t f(t-x) g(x) dx \right\} \exp(-st) dt = \int_0^\infty \{ f(t)*g(t)\} \exp(-st) dt }

= \mathcal{L}[f(t)*g(t)]