マクスウェルの方程式からの公式の導出5

電験

マクスウェルの方程式

\begin{align} \nabla \cdot \pmb{D} ( \pmb{x} , t ) & = \rho ( \pmb{x} , t ) \\ \nabla \cdot \pmb{B} ( \pmb{x} , t ) & = 0 \\ \nabla \times \pmb{E} ( \pmb{x} , t ) & = - \frac{\partial \pmb{B} ( \pmb{x} , t ) }{\partial t} \\ \nabla \times \pmb{H} ( \pmb{x} , t ) & = \pmb{i} ( \pmb{x} , t ) + \frac{\partial \pmb{D} ( \pmb{x} , t ) }{\partial t} \end{align}

より

\exists \pmb{A}, \pmb{B} = \nabla \times \pmb{A}

再び\displaystyle{\frac{\partial \pmb{D} ( \pmb{x} , t ) }{\partial t}}を無視してアンペールの法則と組み合わせると、

\nabla \times \pmb{B} = \nabla \times \nabla \times \pmb{A} = \mu \pmb{i}

- \nabla^2 \pmb{A} +\nabla(\nabla\cdot\pmb{A}) = \mu \pmb{i}

ここで\nabla\cdot\pmb{A}=0にゲージを選ぶと

- \nabla^2 \pmb{A} = \mu \pmb{i}

となって3つのポアソン方程式を得るのでスカラーポテンシャルの時と同様の解

\displaystyle{\pmb{A}=\frac{\mu}{4 \pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{\pmb{i}(\pmb{x}')}{|\pmb{x}-\pmb{x}'|} dx_1'dx_2'dx_3'}

を得る。

\begin{align} \pmb{B} = \nabla \times \pmb{A} & = \frac{\mu}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{\pmb{i}(\pmb{x}') \times ( \pmb{x} - \pmb{x}')}{|\pmb{x}-\pmb{x}'|^3} dx_1'dx_2'dx_3' \\ & = \frac{\mu I}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{d\pmb{x}' \times ( \pmb{x} - \pmb{x}')}{|\pmb{x}-\pmb{x}'|^3} \\ & = \frac{\mu I}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{dx' \sin \theta }{|\pmb{x}-\pmb{x}'|^2} \\ & = \frac{\mu I}{4\pi}\int \frac{\sin \theta ds}{r^2} \end{align}

 となってビオ・サバールの法則を得る。