マクスウェルの方程式
\begin{align} \nabla \cdot \pmb{D} ( \pmb{x} , t ) & = \rho ( \pmb{x} , t ) \\ \nabla \cdot \pmb{B} ( \pmb{x} , t ) & = 0 \\ \nabla \times \pmb{E} ( \pmb{x} , t ) & = - \frac{\partial \pmb{B} ( \pmb{x} , t ) }{\partial t} \\ \nabla \times \pmb{H} ( \pmb{x} , t ) & = \pmb{i} ( \pmb{x} , t ) + \frac{\partial \pmb{D} ( \pmb{x} , t ) }{\partial t} \end{align}
より
再びを無視してアンペールの法則と組み合わせると、
ここでにゲージを選ぶと
となって3つのポアソン方程式を得るのでスカラーポテンシャルの時と同様の解
を得る。
\begin{align} \pmb{B} = \nabla \times \pmb{A} & = \frac{\mu}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{\pmb{i}(\pmb{x}') \times ( \pmb{x} - \pmb{x}')}{|\pmb{x}-\pmb{x}'|^3} dx_1'dx_2'dx_3' \\ & = \frac{\mu I}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{d\pmb{x}' \times ( \pmb{x} - \pmb{x}')}{|\pmb{x}-\pmb{x}'|^3} \\ & = \frac{\mu I}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{dx' \sin \theta }{|\pmb{x}-\pmb{x}'|^2} \\ & = \frac{\mu I}{4\pi}\int \frac{\sin \theta ds}{r^2} \end{align}
となってビオ・サバールの法則を得る。
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