マクスウェルの方程式からの公式の導出１

電験

マクスウェルの方程式は、

\begin{align} \nabla \cdot \pmb{D} ( \pmb{x} , t ) & = \rho ( \pmb{x} , t ) \\ \nabla \cdot \pmb{B} ( \pmb{x} , t ) & = 0 \\ \nabla \times \pmb{E} ( \pmb{x} , t ) & = - \frac{\partial \pmb{B} ( \pmb{x} , t ) }{\partial t} \\ \nabla \times \pmb{H} ( \pmb{x} , t ) & = \pmb{i} ( \pmb{x} , t ) + \frac{\partial \pmb{D} ( \pmb{x} , t ) }{\partial t} \end{align}

の4個の方程式で、\rho は電荷密度であり、Qを電荷総量とすると最初の方程式から

\displaystyle{\int \pmb{D} dx_1 dx_2 dx_3 = Q}

Gaussの定理より

\displaystyle{\int \pmb{D} \cdot \pmb{n} dS = Q}

領域として半径rの球面上に電荷が分布している場合、

4 \pi r^2 D = Q

板状の面積Sの領域上に電荷が分布している場合は

2 DS = Q

となり、電荷Qと電荷-Qからなる平行板コンデンサーの場合、

平行板の間は

DS=Q

平行板の外では

DS=0

となります。

D=\varepsilon E

とすると

\displaystyle{E= \frac{1}{\varepsilon S} Q}

となって、電位V= E dを導入すると、

\displaystyle{V= \frac{d}{\varepsilon S} Q}

となり、Q=CVより平行板コンデンサーの静電容量は

\displaystyle{C= \frac{\varepsilon S}{d}}

となります。

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