マクスウェルの方程式からの公式の導出4

電験

マクスウェルの方程式

\begin{align} \nabla \cdot \pmb{D} ( \pmb{x} , t ) & = \rho ( \pmb{x} , t ) \\ \nabla \cdot \pmb{B} ( \pmb{x} , t ) & = 0 \\ \nabla \times \pmb{E} ( \pmb{x} , t ) & = - \frac{\partial \pmb{B} ( \pmb{x} , t ) }{\partial t} \\ \nabla \times \pmb{H} ( \pmb{x} , t ) & = \pmb{i} ( \pmb{x} , t ) + \frac{\partial \pmb{D} ( \pmb{x} , t ) }{\partial t} \end{align}

 

の\displaystyle{\nabla \cdot \pmb{B} ( \pmb{x} , t ) = 0}より

\exists \pmb{A}, \pmb{B} = \nabla \times \pmb{A}

またファラデーの法則と組み合わせて

\displaystyle{\nabla \times \left\{ \pmb{E} + \frac{\partial \pmb{A}}{\partial t} \right\} = 0}

従って、\displaystyle{\exists \phi, \pmb{E} + \frac{\partial \pmb{A}}{\partial t} = -\nabla \varphi}

静電場においては

\displaystyle{\exists \varphi, \pmb{E} = -\nabla \varphi}

これに

\nabla \cdot \pmb{D} = \rho

 を組み合わせると、

\displaystyle{\nabla \cdot \pmb{E} = - \nabla^2 \varphi = \frac{\rho}{\varepsilon}}

 このポアソン方程式の解はクーロンの法則を満たすので、

\displaystyle{\varphi = \frac{1}{4 \pi \varepsilon}\int_{-\infty}^\infty \frac{\rho(\pmb{x}')}{|\pmb{x}-\pmb{x}'|}dx_1'dx_2'dx_3'}