Fourier解析　Rieman-Lebesgueの定理 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

定理　Rieman-Lebesgueの定理

$f(x)$ を $[a,b]$ で区分的に連続な関数とする。そのとき、

$\displaystyle{\lim_{\alpha \to \infty} \int_a^b f(x) \sin(\alpha x) dx = 0}$

$\displaystyle{\lim_{\alpha \to \infty} \int_a^b f(x) \cos(\alpha x) dx = 0}$

証明

$\cos$ に関しては $\sin$ と同様にできるので省力する。

$f(x)$ は $[a,b]$ で区分的に連続なので $[a,b]$ で連続と仮定して差し支えない。 $f(x)$ は $[a,b]$ で有界ゆえ $\exists M \gt 0, |f(x)| \leq M, \forall x \in [a,b]$ 。区間 $[a,b]$ を

$a=x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_n \lt x_{n+1}=b$

となるように等間隔に $n$ 当分する。

$\Delta x = x_{k+1} - x_k, n\Delta x = b -a$

$\displaystyle{\left| \int_a^b f(x) \sin(\alpha x) dx \right|}$

$\displaystyle{=\left| \sum_{k=1}^n \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x) \sin(\alpha x) dx \right|}$

$\displaystyle{ \leq \sum_{k=1}^n \left| \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x) \sin(\alpha x) dx \right|}$

$\displaystyle{ \leq \sum_{k=1}^n \left| \int_{x_k}^{x_{k+1}} \{ f(x) - f(x_k) + f(x_k)\} \sin(\alpha x) dx \right|}$

$\displaystyle{ = \sum_{k=1}^n \left| \int_{x_k}^{x_{k+1}} \{ f(x) - f(x_k) \} \sin(\alpha x) dx + \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x_k) \sin(\alpha x) dx \right|}$

$\displaystyle{ \leq \sum_{k=1}^n \left\{ \left| \int_{x_k}^{x_{k+1}} \{ f(x) - f(x_k) \} \sin(\alpha x) dx\right| + \left| \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x_k) \sin(\alpha x) dx \right|\right\}}$

$\displaystyle{ \leq \sum_{k=1}^n \left\{ \int_{x_k}^{x_{k+1}} | f(x) - f(x_k) | dx + M \left| \int_{x_k}^{x_{k+1}} \sin(\alpha x) dx \right| \right\}}$

$\displaystyle{ \leq \sum_{k=1}^n \left\{ \int_{x_k}^{x_{k+1}} | f(x) - f(x_k) | dx + M \left| \left[ - \frac{1}{\alpha} \cos(\alpha x) \right]_{x_k}^{x_{k+1}} \right|\right\}}$

$\displaystyle{ \leq \sum_{k=1}^n \left\{ \int_{x_k}^{x_{k+1}} | f(x) - f(x_k) | dx + \frac{M}{\alpha} \{| \cos(\alpha x_k) |+| \cos(\alpha x_{k+1}) |\} \right\} }$

$\displaystyle{ \leq \sum_{k=1}^n \int_{x_k}^{x_{k+1}} | f(x) - f(x_k) | dx + \frac{2nM}{\alpha} }$

$f(x)$ は連続関数なので、 $\forall \epsilon \gt 0$ に対して $\exists N \in \mathbb{N}, n \gt N$ ならば $|f(x)-f(x_k)|\lt \epsilon$ とできる。

$\displaystyle{ \therefore \left| \int_a^b f(x) \sin(\alpha x) dx \right| \leq \sum_{k=1}^n \left\{ \int_{x_k}^{x_{k+1}} \epsilon dx\right\} + \frac{2nM}{\alpha} = \epsilon(b-a) + \frac{2nM}{\alpha}}$