Foulier変換・逆変換、Laplace変換・逆変換　Laplace変換の反転公式

Laplace変換・逆変換 電験 理論

関数fは[ -\ell, \ell]を周期に持つ区分的に滑らかで連続な場合、

\displaystyle{C_k = \frac{1}{2 \ell} \int_{-\ell}^\ell f(t) \exp\left( -\sqrt{-1} \frac{k \pi}{\ell} t \right) dt}

とすることで周期2\ellを持つFourier級数に容易に拡張され、

\displaystyle{ f(x) = \sum_{k = 0 ,\pm 1}^{\pm \infty} \frac{1}{2\ell} \left\{ \int_{-\infty}^\infty f(t) \exp\left( -\sqrt{-1} \frac{k \pi}{\ell} t \right) dt\right\} \exp\left(\sqrt{-1}\frac{k \pi}{\ell}x\right)}

\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2\pi} \sum_{k = 0 ,\pm 1}^{\pm \infty} \frac{\pi}{\ell} \left\{ \int_{-\infty}^\infty f(t) \exp\left( -\sqrt{-1} \frac{k \pi}{\ell} t \right) dt\right\} \exp\left(\sqrt{-1}\frac{k \pi}{\ell}x\right)}

これで \displaystyle{ \frac{\pi}{\ell} = \Delta \alpha}とおくと 

\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2\pi} \sum_{k = 0 ,\pm 1}^{\pm \infty} \Delta \alpha \left\{ \int_{-\infty}^\infty f(t) \exp\left( -\sqrt{-1} t k \Delta \alpha  \right) dt\right\} \exp\left(\sqrt{-1}x k \Delta \alpha \right)}

\displaystyle{ \lim_{\ell \to \infty} \frac{\pi}{\ell} = d \alpha, \lim_{\ell \to \infty} k \frac{\pi}{\ell} = \alpha}となり、 \ell \to \inftyの極限で、fが(-\infty,\infty)で区分的に滑らかかつ連続で絶対可積分であればFourierの積分定理が成り立つ。

\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty  \exp (\sqrt{-1}x \alpha) \left\{ \int_{-\infty}^\infty f(t) \exp( -\sqrt{-1} t \alpha  ) dt\right\}  d\alpha }

以上からf(x)のFourier変換

\displaystyle{ F(\alpha) = \int_{-\infty}^\infty f(t) \exp( -\sqrt{-1} t \alpha  ) dt }

 とF(\alpha)のFourier逆変換

\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty  \exp (\sqrt{-1}x \alpha) F(\alpha)  d\alpha }

が定まる。

 

 \displaystyle{\mathcal{L}[f(t)](s)=F(s)=\int_0^\infty f(t) \exp(-st)dt}をf(t)のLaplace変換という。

 

定理　Laplace変換の反転公式

関数fが(-\infty,\infty)で区分的に滑らかで絶対可積分であるとき

\displaystyle{f(t)= \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{p-\sqrt{-1}\infty}^{p+\sqrt{-1}\infty} \left\{ \int_0^\infty f(x) \exp(-sx)dx\right\} \exp(st)ds}

この\displaystyle{\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{p-\sqrt{-1}\infty}^{p+\sqrt{-1}\infty} F(s) \exp(st)ds}をBromwich積分といい、Laplace逆変換\mathcal{L}^{-1}[F(s)](t)を与える。 

 

証明

 定積分

\displaystyle{\int_{p-\sqrt{-1}\omega}^{p+\sqrt{-1}\omega} \left\{ \int_0^\infty f(x) \exp(-sx)dx\right\} \exp(st)ds}

 においてpは定数なので積分変数をs=p+\sqrt{-1}\alphaから\alpha（実変数）に変換する。s:p-\sqrt{-1}\omega \to p + \sqrt{-1} \omegaのとき、\alpha: -\omega \to \omegaで、ds = \sqrt{-1} d \alpha

\displaystyle{\int_{p-\sqrt{-1}\omega}^{p+\sqrt{-1}\omega} \left\{ \int_0^\infty f(x) \exp(-sx)dx\right\} \exp(st)ds}

 \displaystyle{=\sqrt{-1}\exp(pt) \int_{-\omega}^\omega \exp(\sqrt{-1}\alpha t) \left\{\int_0^\infty f(x) \exp(-(p+\sqrt{-1}\alpha)x)dx\right\}d\alpha}

fは(-\infty,0)で0とおけば

\displaystyle{\lim_{\omega \to \infty} \int_{p-\sqrt{-1}\omega}^{p+\sqrt{-1}\omega} \left\{ \int_{-\infty}^\infty f(x) \exp(-sx)dx\right\} \exp(st)ds}

 \displaystyle{=\sqrt{-1}\exp(pt) \int_{-\infty}^\infty \exp(\sqrt{-1}\alpha t) \left\{\int_{-\infty}^\infty (\exp(-px) f(x)) \exp(-\sqrt{-1}\alpha x)dx\right\}d\alpha}

ここで\exp(-px)f(x)に対しFourierの積分定理を使えば

\displaystyle{\sqrt{-1}\exp(pt) \int_{-\infty}^\infty \exp(\sqrt{-1}\alpha t) \left\{ \int_{-\infty}^\infty (\exp(-px)f(x)) \exp(-\sqrt{-1}\alpha x) dx \right\} d\alpha}

 \displaystyle{=2\pi \sqrt{-1} \exp(pt) \{ \exp(-pt)f(t)\} = 2\pi \sqrt{-1}f(t)}

\displaystyle{\therefore f(t)= \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{p-\sqrt{-1}\infty}^{p+\sqrt{-1}\infty} \left\{ \int_0^\infty f(x) \exp(-sx)dx\right\} \exp(st)ds}