Laplace変換・逆変換　Laplace変換の例1

Laplace変換・逆変換 電験 理論

\displaystyle{\mathcal{L}[1](s)=\int_0^\infty \exp(-st)dt =\left[ -\frac{1}{s}\exp(-st)\right]_0^\infty=\frac{1}{s}}

\mathcal{L}[t^\alpha ](s)を求めるためにガンマ関数を定義する。

\displaystyle{\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1} \exp(-x)dx}

\displaystyle{\Gamma(\alpha+1)=\int_0^\infty x^\alpha \exp(-x)dx}

\displaystyle{=[ x^\alpha \exp(-x)]_0^\infty + \alpha \int_0^\infty x^{\alpha-1} \exp(-x)dx = \alpha \Gamma(\alpha)}

\displaystyle{\mathcal{L}[t^\alpha ](s)=\int_0^\infty t^\alpha \exp(-st)dt}

において\displaystyle{u=st,dt =\frac{du}{s}}とおくと

\displaystyle{\mathcal{L}[t^\alpha ](s)=\int_0^\infty \left(\frac{u}{s}\right)^\alpha \exp(-u)\frac{dt}{s}}

\displaystyle{ \frac{1}{s^{\alpha+1}} \int_0^\infty u^\alpha \exp(-u) du = \frac{\Gamma (\alpha + 1)}{s^{\alpha+1}} }

 \displaystyle{\mathcal{L}[\exp(at)](s) = \int_0^\infty\exp(at-st)dt = \left[ \frac{1}{a-s}\exp((a-s)t)\right]_0^\infty=\frac{1}{s-a}}