Laplace変換・逆変換　Laplace変換の例4

Laplace変換・逆変換 電験 理論

微分のLaplace変換

\displaystyle{\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)](s) = s^n F(s) -\{ s^{n-1} f(0) + s^{n-2} f'(0)+ \cdots + f^{(n-1)}(0)\}}

 

n=1とすると

\mathcal{L[f'(t)](s) = \int_0^\infty f'(t)\exp(-st)dt}

\displaystyle{=[f(t)\exp(-st)]_0^\infty - \int_0^\infty f(t) (-s \exp(-st))dt = s F(s) - f(0)}

で正しい。n=kのとき成り立つとする。

\displaystyle{\mathcal{L}[f^{(k+1)}(t)](s) = \int_0^\infty f^{(k+1)}(t) \exp(-st)dt}

\displaystyle{=[f^{(k)} (t) \exp(-st)]_0^\infty - \int_0^\infty f^{(k)}(t)( -s \exp(-st))dt = s \mathcal{L}[f^{(k)} (t) ] (s)- f^{(k)} (0) }

=s[s^k F(s) - \{ s^{k-1} f(0) + s^{k-2} f'(0) + \cdots + f^{(k-1)}(0)\}] -f^{(k)}(0)

=s^{k+1} F(s) -\{s^k f(0) +s^{k-1} f'(0) + \cdots + f^{(k)}(0)\}

となってn=k+1のときも成り立つ。