Laplace変換・逆変換　初期値定理・最終値定理

Laplace変換・逆変換 電験 理論

定理　初期値定理・最終値定理

f(t),f'(t)が|f'(t)|\exp(-\alpha t) \lt \exists M \lt \inftyを満たす区分的連続関数である。

\displaystyle{\lim_{s \to \infty}s F(s)}が存在するとき

\displaystyle{\lim_{t\to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty}s F(s)}初期値定理

また、\alpha \lt 0かつ\displaystyle{\lim_{s \to 0}s F(s)}が存在するとき

\displaystyle{\lim_{t\to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0}s F(s)}最終値定理

 

証明

\displaystyle{|\mathcal{L}[f'(t)](s)|=\left| \int_0^\infty f'(t)\exp(-st)dt\right|}

\displaystyle{ \leq M \int_0^\infty |\exp(\alpha t)\exp(-st)|dt \leq \left| \frac{M}{s-\alpha}\right|}

(1)初期値定理

\displaystyle{\lim_{s\to \infty} \mathcal{L}[f'(t)](s)=\lim_{s\to \infty} \{ s F(s) - f(0)\} = 0}

\displaystyle{\therefore \lim_{s\to \infty} s F(s) = f(0)}

(2)最終値定理

\mathcal{L}[f'(t)](s)の収束するsの範囲はs \geq 0と保証されているから

\displaystyle{\lim_{s\to 0} \mathcal{L}[f'(t)](s)=\lim_{s\to 0} \int_0^\infty f'(t) \exp(-st)dt = \int_0^\infty f'(t) dt = \lim_{s\to \infty} f(t) - f(0)}

一方、

\displaystyle{ \lim_{s\to 0} \mathcal{L}[f'(t)] = \lim_{s\to 0} sF(s) -f(0)}

\displaystyle{\therefore \lim_{s \to 0} s F(s) = \lim_{s \to 0} f(t)}