2016年電験1種　理論問1 - 数学・物理・電気主任技術者試験、情報処理技術者試験等お勉強の記録

導体 $A$ の電位

$\displaystyle{ V_A= - \int _\infty^a \ \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r^2} dr = - \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ - \frac{1}{r} \right]_\infty^a = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 a} }$

(1)の解答（リ）

導体 $A$ の静電容量

$\displaystyle{ C_A= \frac{Q}{V_A} = Q \cdot \frac{4 \pi \varepsilon_0 a}{Q} = 4 \pi \varepsilon_0 }$

(2)の解答（ハ）

導体 $A$ 内の電界の大きさは $0$

(3)の解答（ニ）

導体 $A$ の電荷は $Q$ 、導体 $B$ の電位は $0$ だから

$\displaystyle{ V_A =V_B - \int _{2a}^a \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r^2} dr = - \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ - \frac{1}{r} \right]_{2a}^a = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \left\{ \frac{1}{a} - \frac{1}{2a} \right\} = \frac{Q}{8 \pi \varepsilon_0} }$

(4)の解答（チ）

導体 $A$ の電荷は $Q_A$ 、導体 $B$ に誘導される電荷を $Q_B$ とする。導体 $C$ の電荷を $Q_C$ とすると $Q= Q_A + Q_C$ 、

$r \lt a$ では $E=0$ 、 $a \leqq r \lt 2 a$ では

$\displaystyle{ \int_S E dS = \frac{Q_A}{\varepsilon_0} }$

$\displaystyle{E= \frac{Q_A}{4 \pi \varepsilon_0 r^2 } }$

$2a \leqq r \lt 4 a$ では

$\displaystyle{ \int_S E dS = \frac{Q_A+ Q_B}{\varepsilon_0} }$

$\displaystyle{E= \frac{Q_A+Q_B}{4 \pi \varepsilon_0 r^2 } }$

$4a \leqq r$ では

$\displaystyle{ \int_S E dS = \frac{Q+Q_B}{\varepsilon_0} }$

$\displaystyle{E= \frac{Q+Q_B}{4 \pi \varepsilon_0 r^2 } }$

導体 $B$ は接地されているので $V_B=0$

$\displaystyle{ V_B = - \int_\infty^{2a} E dr = - \int_\infty^{4a} \frac{Q+Q_B}{4 \pi \varepsilon_0 r^2 } dr - \int_{4a}^{2a} \frac{Q_A+Q_B}{4 \pi \varepsilon_0 r^2 } dr }$

$\displaystyle{ - \frac{Q+Q_B}{4 \pi \varepsilon_0 } \int_\infty^{4a} \frac{1}{r^2} dr - \frac{Q_A+Q_B}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{4a}^{2a} \frac{1}{r^2} dr = - \frac{Q+Q_B}{4 \pi \varepsilon_0 }\left[ - \frac{1}{r} \right]_\infty^{4a} - \frac{Q_A+Q_B}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ - \frac{1}{r} \right]_{4a}^{2a} }$

$\displaystyle{=\frac{Q+Q_B}{4 \pi \varepsilon_0 }\left[ \frac{1}{4a} \right] + \frac{Q_A+Q_B}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{2a}-\frac{1}{4a} \right] = \frac{Q+Q_A + 2 Q_B}{16 \pi \varepsilon_0 a} =0 }$

$\displaystyle{ \therefore Q_B = - \frac{Q+Q_A}{2} }$

導体 $A$ の電位 $V_A$

$\displaystyle{ V_A =V_B - \int _{2a}^a \frac{Q_A}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r^2} dr = \frac{Q_A}{8 \pi \varepsilon_0} }$

導体 $C$ の電位 $V_C$

$\displaystyle{ V_C = - \int _\infty^{4a} \frac{Q+Q_B}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r^2} dr = - \frac{Q+Q_B}{4 \pi \varepsilon_0} \int _\infty^{4a}\frac{1}{r^2} dr = \frac{Q+Q_B}{16 \pi \varepsilon_0 a} }$